2.2 Приложения степенных рядов.
Здесь следует обратить внимание на то, что приложения степенных рядов к ряду практических задач в курсе математического анализа встречаются на раннем этапе. В частности, при рассмотрении формулы Тейлора приходится сталкиваться с выполнением приближенных вычислений или представлением функций в виде степенного ряда. Также при численном интегрировании применяется разложение подынтегральной функции в ряд. В связи с вышеизложенным, нам представляется целесообразным разбор таких задач на более углубленном, требующем понимания основных свойств рядов, примерах с детальной оценкой погрешности, возникающей при вычислениях. Кроме того, в целях демонстрации эффективного применения рядов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ0, нами рассмотрены решения достаточно сложных ОДУ.
2.2.1. Приближенные вычисления.
Пример 1. Вычислить
с точностью до
значение
sin
3
.
Решение. Используя
разложение функции
при
запишем
sin3
,
так как этот ряд удовлетворяет признаку
Лейбница, его остаток не превышает по
абсолютной величине первого из членов
в
.
Найдем n
из условия
:
при
имеем
;
при
;
для
выполнено неравенство:
.
Следовательно,
нужно взять два члена разложения и
.
Пример 2. Вычислите
значение
с точностью до
.
Решение: Поскольку
для разложения в степенной ряд записывается
для функций
найдем значение
из равенства
,
.
Тогда, используя разложения
найдем:
Таким образом,
.
Оценим
т.е. можно ограничиться 4-мя членами:
Окончательно,
.
2.2.2. Вычисление определенных интегралов.
Пример 3. Вычислить
интервал
с точностью до 0,001.
Решение: С учетом
табличного разложения
,
получим
Далее , интегрируя данное выражение на
отрезке
,
получим
=
=
Полученный ряд можно интерпретировать как разность двух знакочередующихся сходящихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница:
(*),
(**).
Тогда для ряда (*)
имеем
и для
–
поэтому то
=.
.
Пример 4. Вычислить
с точностью до
интервал
.
Решение: Т.к.
=
,
интегрируя этот ряд, на
получим
=
Нужно найти теперь число членов, обеспечивающих заданную точность (ряд удовлетворяет признаку Лейбница):
при
имеем:
Таким образом, приближенное значение
.
2.2.3. Вычисление пределов.
Пример 5. Вычислить
применяя разложение функции по формуле
Тейлора.
Решение: Запишем
равенства
.
Тогда
отсюда
.
Пример 6. Вычислить
предел с применением формуле Тейлора:
Решение. Для
удобства положим
Приведем теперь биномиальное разложение
вида
.
Полагая
и
,
запишем эквивалентности:
,
.
Принимая во внимание вышеприведенные соотношения, получим:
.
Тогда,
с учетом этих разложений, находим
Пример 7. Вычислить с применением формулы Тейлора предел
.
Решение. Имеем следующую эквивалентность:
В окончательном виде получим следующее отношение
.
Представим степенно-показательное выражение через экспоненту:
.
Поскольку
получим
;
и в окончательном виде искомый предел
.
2.2.4. Применение степенных рядов для
решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример 8. Методом неопределенных коэффициентов, найти общее решение дифференциального уравнения
в виде степенного ряда с центром в нуле.
Решение: Запишем
дифференциальное уравнение в виде
степенного ряда с центром в нуле
с неопределенными коэффициентами
.
Найдем производные от степенного ряда
,
и подставим их выражения в дифференциальное уравнение
+
.
Преобразуем полученное выражение
;
или
.
Таким образом:
;
;
.
Последняя формула представляет собой рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов степенного ряда. Зададим теперь:
.
Тогда
т.е.
.
Аналогично получим выражение
Окончательное выражение для решения принимает вид
,
где
–
произведение всех четных чисел от 1 до
;
– произведение нечетных чисел от 1 до
.
Пример 9. Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
в окрестности особой точки в виде степенного ряда или обобщенного степенного ряда с центром в нуле.
Решение: Запишем
разложение в степенной ряд искомого
решения:
.
Дифференцируя этот ряд, найдем
производные:
;
и, подставляя их в уравнение, получим равенство:
Выпишем теперь
коэффициенты при степени
:
.
Получаем квадратное уравнение
.
Его корни:
.
Для каждого корня имеем свое решение в
виде обобщенного ряда.
Положим
и перепишем вышеприведенное равенство:
Выпишем теперь
коэффициенты при степени
:
или
.
Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде
Отсюда следует равенство
. (1)
Перепишем его в
виде
.
Отсюда получаем искомое выражение
при
.
В частности, имеем равенство
.
Положим теперь
.
Тогда равенство (1) принимает вид
.
Поскольку
,
то с учетом рекуррентного соотношения,
находим, что
при
.
Таким образом, получено решение ОДУ в
виде
.
Положим
и перепишем вышеприведенное равенство:
Выпишем теперь
коэффициенты при степени
:
или
.
Получим теперь рекуррентное соотношение для вычисления коэффициентов ряда. Для этого представим дифференциальное уравнение в виде
Отсюда следует равенство
. (1)
Перепишем его в
виде
.
Получаем искомое выражение
.
В частности, имеем равенство
,
.
Таким образом, получено решение ОДУ в виде
.
Преобразуем полученное выражение для решения. Обратимся к разложению
и перепишем решение
в виде
.
Тогда решение ОДУ в окончательной форме принимает следующий вид
.