1.2. Признаки сходимости знакопеременных рядов.

1. Абсолютная сходимость рядов. Ряд

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

. (2)

В этом случае также сходится и ряд (1). Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых, для исследования абсолютной сходимости ряда применимы известные признаки знакопостоянных рядов.

Если ряд (1) сходится, при этом (2) расходится, говорят об условной ( не абсолютной) сходимости .

2. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

сходится ( вообще говоря, не абсолютно), если: а) и б) .

В этом случае для остатка ряда справедлива оценка .

3. Признак Абеля. Ряд

. (3)

сходится, если: 1) ряд сходится; 2) числа образуют монотонную и ограниченную последовательность.

4. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если: 1) суммы ограничены в совокупности; 2) монотонно стремится к нулю при .

Приведем примеры на исследование сходимости знакопеременных рядов.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Так как , то выписанный ряд расходится, т.е. исходный ряд не сходится абсолютно. Ряд знакочередующийся, поэтому проверим выполнение условия . Имеем , кроме того, . Выполнены условия условной сходимости ряда по признаку Лейбница. Ряд сходится условно.

Пример 17. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Так как , то вышеприведенный ряд сходится, т.е. исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 18. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд знакочередующийся, поэтому проверим выполнение условия . Действительно, и . Выполнены условия условной сходимости ряда по признаку Лейбница. Ряд сходится условно, так как ряд является расходящимся, согласно признаку сравнения II.

§ 2. Степенные ряды

Интервал сходимости. Для каждого степенного ряда ,существует замкнутый интервал сходимости: , внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус сходимости R определяется по формуле Коши-Адамара . Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле если этот предел существует.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в концевой точке x=R интервала сходимости, что

Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд

.

Остаточный член этого ряда

можно представить в виде

(форма Лагранжа) или в виде

(форма Коши).

Необходимо помнить следующие пять основных разложений:

I.

II.

III.

IV.

2.1. Исследование сходимости степенных рядов.

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда .

Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле . Интервал сходимости данного ряда интервал . Полагая получим расходящийся ряд, так как для него нарушено необходимое условие сходимости. Для значения имеем знакопеременный ряд . Его частичные суммы , а неограниченны, поэтому ряд расходится. Таким образом, множество сходимости ряда интервал .

Пример 2. Найти множество сходимости ряда .

Решение. Запишем коэффициент степенного ряда и, с учетом его вида, найдем радиус сходимости по формуле . Множество сходимости ряда .

Пример 3. Найти множество сходимости ряда .

Решение. Запишем коэффициент и найдем радиус сходимости по формуле . Интервал сходимости данного ряда интервал . Рассмотрим теперь сходимость на концах интервала.

Полагая , получим числовой ряд . Имеем . Выясним теперь сходимость несобственного интеграла . Применяя подстановку , убедимся в его расходимости. Следовательно, расходится согласно интегральному признаку Коши, и числовой ряд.

Для значения имеем знакопеременный ряд . Для него выполнены условия сходимости по признаку Лейбница. Таким образом, множество сходимости ряда .