Числовые и степенные ряды.
§1. Числовые ряды.
1.1. Знакоположительные ряды
1. Общие понятия. Числовой ряд
(1)
называется
сходящимся, если существует конечный
предел
(
сумма ряда), где
–
частичная сумма. В противном случае ряд
называется расходящимся.
2. Критерий Коши.
Для сходимости ряда (1) необходимо и
достаточно, чтобы для любого
существовало число
такое, что при
и
(
натуральных) было выполнено неравенство
. В
частности, если ряд сходится, то
(необходимое
условие сходимости).
3. Признаки сходимости.
Признак сравнения I. Пусть наряду с (1) имеется ряд
(2)
Если при
выполнено
неравенство
,
тогда: 1) из сходимости (2) следует
сходимость (1); 2) из расходимости (1)
следует расходимость (2).
В частности, если
при
то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся
одновременно.
Признак сравнения
II.
Если
то ряд (1) сходится при
и расходится, если
.
Признак Даламбера.
Если
и
,
то ряд (1) сходится при
и расходится при
.
Признак Коши
(радикальный).
Если
и
,
то ряд (1) сходится при
и расходится при
.
Интегральный
признак Коши.
Если
–
неотрицательная невозрастающая функция,
то ряд
сходится или расходится одновременно
с интегралом
.
Обратимся к рассмотрению основных понятий ЧР: частичной суммы, суммы ряда. Покажем некоторые демонстрационные материалы.
Пример 1. Рассмотрев
предел частичной суммы ряда
,
установить его сходимость и величину
суммы или его расходимость.
Решение. Рассмотрим
частичную сумму ряда
.
Тогда 
и
.
Ряд расходится.
Пример 2. Рассмотрев
предел частичной суммы ряда
,
установить его сходимость и величину
суммы или его расходимость.
Решение. Рассмотрим
частичную сумму ряда
.
Тогда, с учетом того, что
,
получим выражение
для
нее
и
.
Ряд сходится.
Приведем теперь примеры на использование вышеприведенных признаков сходимости для исследования знакоположительных числовых рядов.
При выполнении исследования сходимости ЧР полезным в ряде случаев оказывается проверка необходимого условия сходимости ряда. При этом нужно вычислить пределы различного типа.
Пример 3. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Общий
член ряда
и найдем
.
Необходимое условие сходимости ряда
нарушено, поэтому ряд расходится.
Пример 4. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Запишем
общий член ряда
и найдем
.
Необходимое условие сходимости ряда
нарушено, поэтому ряд расходится.
Пример 5. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Поскольку
общий член ряда имеет тип
показательно-степенного выражения,
запишем его в виде
и найдем
.
Необходимое условие сходимости ряда
нарушено, поэтому ряд расходится.
Приведем теперь иллюстрацию исследования сходимости рядов с использованием признаков сравнения. Для этого необходимо для исходного ряда построить эквивалентный, более простой, по виду общего члена, ряд. При этом исследование сходимости последнего не должно вызывать особых трудностей.
Пример 6. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Заметим,
что при
величина
.
Поскольку
,
то нарушено необходимое условие
сходимости ряда. Согласно признаку
сравнения I,
исходный ряд расходится.
Пример 7 . Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Заметим,
что при
величина
.
Поскольку ряд
представляет геометрическую прогрессию
со знаменателем меньшим единицы, согласно
признаку сравнения I,
исходный ряд сходится.
Пример 8 . Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Заметим, что при величина . Поскольку ряд представляет геометрическую прогрессию со знаменателем меньшим единицы, согласно признаку сравнения I, исходный ряд сходится.
Пример 9 . Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Имеем
неравенство
.
Поскольку исходный ряд является
мажорантным для гармонического, то он
расходится.
Остановимся теперь на признаках Даламбера и Коши: радикальном и интегральном. Если представляется случай, когда отношение текущего и предыдущего общих членов ряда выражается простым по виду выражением, целесообразно применение признака Даламбера. При наличии в выражении общего члена ряда зависимости степенно-показательного типа следует обращаться к радикальному признаку Коши.
Пример 10. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Запишем
общий член ряда
и найдем
.
Согласно признаку Даламбера, ряд
сходится.
Пример 11. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Запишем
общий член ряда
и найдем
.
Согласно признаку Даламбера, ряд
сходится.
Пример 12. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Найдем
.
Согласно радикальному признаку Коши,
ряд сходится.
Пример 13. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Вычислим
.
Согласно радикальному признаку Коши,
ряд сходится.
Пример 14. Исследовать
сходимость числового ряда
.
Решение. Оценим
.
Согласно радикальному признаку Коши,
ряд сходится.
Обратимся теперь к интегральному признаку Коши. В конечном счете вопрос исследования сходимости ряда сводится к установлению сходимости или расходимости несобственных интегралов первого рода, т.е. с бесконечным пределом интегрирования.
Пример 15. Исследовать
сходимость числового ряда
(
).
Решение. Введем
функцию
,
.
Она удовлетворяет всем требованиям
интегрального признака Коши. Рассмотрим
несобственный интеграл
.
Он сходится при
и расходится, когда
.
Таким образом, заданный ряд сходится
при
и расходится, когда
.