§3. Частные производные. Дифференциал функции.
Частные производные. Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования, если все производные , входящие в вычисление, непрерывны.
Дифференциал
функции. Если
полное приращение функции
от независимых
переменных
может быть представлено в виде
где А,В,С не зависят от величин
то функция
называется дифференцируемой в точке
,
а линейная часть приращения
,
равная
,
где
называется
дифференциалом этой функции.
Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда переменные являются некоторыми дифференцируемыми функциями от независимых переменных.
Если - независимые переменные, и функция имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет место символическая формула
§4. Производная сложной функции.
Если
-
дифференцируемая функция и
,
где функции
дифференцируемы, то
,
.
Для вычисления
производственных второго порядка
функции
полезно
пользоваться символическими формулами:
и
,
где
;
.
§5. Производная в данном направлении.
Если направление
в пространстве
характеризуется направляющими
косинусами:
и функция
дифференцируема, то производная по
данному направлению вычисляется по
формуле
.
Скорость наибольшего роста функции в данной точке по модулю и направлению определяется вектором – градиентом функции:
;
.
§6. Достаточное условие экстремума.
Функция в точке имеет:
А) максимум, если
,
при
,
Б) минимум, если
,
при
,
Исследование знака
второго дифференциала
может быть произведено путем приведения
соответствующей квадратичной формы к
каноническому виду.
В частности для
случая функции
двух независимых переменных х и у в
стационарной точке
при
условии, что
,
где
имеем:
а) минимум, если
б) максимум,
если
в) отсутствие
экстремума, если
.
§7. Условный экстремум.
Задача определения
экстремума функции
при
наличии ряда соотношений
)
сводится к нахождению обычного экстремума
для функции Лагранжа
,
где
– постоянные множители.
Вопрос о существовании
и характере условного экстремума в
простейшем случае решается на основании
исследования знака второго дифференциала
в
стационарной точке
функции
при
условии, что переменные
связаны соотношениями:
.
Задача 1.
Дана функция
.
Покажем, что
Решение.
Пусть точка
O=(0;0);
–
расстояние от начала координат до точки
М. Предположим, что выполнено неравенство
.
Тогда получим
Согласно определению предела, число
–
есть предел функции.
Задача 2.
Пусть
Показать, что функция не имеет предела
в точке O=(0;0).
Решение.
Рассмотрим поведение функции на лучах
Имеем
,
поэтому
при
.
При различных значениях
получаются разные числа. Следовательно,
данная функция в точке O(0,0)
предела не имеет.
Задача 3.
Пусть
Показать, что функция не имеет предела
в точке O=(0;0).
Решение.
Рассмотрим поведение функции на лучах
Имеем
При этом
,
когда
,
т.е.
Пусть теперь
тогда
Таким образом, данная функция в точке
O(0,0)
предела не имеет.
Задача 4. Решение.
Найти частные производные первого и
второго порядков от функции
.
Решение.
Вычислим частные производные первого
порядка
.
Далее получим
.
Задача 5. Найти частные производные первого и второго порядков от
функции
.
Решение.
Вычислим частные производные первого
порядка
.
Далее получим
.
Задача 6. Найти частные производные первого и второго порядков от
функции
.
Решение.
Вычислим частные производные первого
порядка
.
Далее получим
Задача 7. Найти частные производные первого и второго порядков от
функции
.
Решение.
Вычислим частные производные первого
порядка
.
Далее получим
.
Задача 8.
Найти градиент функции
в точке
Решение.
Найдем частные производные
Находим их значения в точке
grad
Задача 9.
Найти градиент функции
в точке
Решение.
Имеем:
Их значения в точке
.
Задача
10.
Найти стационарные точки функции
и исследовать их характер.
Решение.
Вычисляем частные производные
,
.
Решаем систему двух уравнений
или
.
Находим решения системы:
.
Таким образом, стационарные точки
функции
:
и
.
Вычисляем производные второго порядка:
,
,
.
В каждой стационарной точке вычисляем
значение выражения
,
где
,
,
.
В точке
имеем
,
,
,
.
Следовательно, точка
не является точкой экстремума.
В точке
имеем
,
,
,
.
Следовательно, точка
является точкой экстремума. Так как
,
то точка
является точкой минимума.