Контрольні завдання та задачі Задача с1

Жорстка рама розташована у вертикальній площині (рис. С1), закріплена опорами в точках А, В і навантажена парою сил з моментом М = 16 кН·м, зосередженими силами і ; точки прикладання, кути , , а також модулі сил вказані у таблиці С1. На одній з дільниць рами діє розподілене навантаження, тип, інтенсивність і ділянку вказано в таблиці С1. Розподілене навантаження направлене перпендикулярно до стрижня і діє зверху вниз на горизонтальних та похилих дільницях і зліва направо на вертикальних.

Визначити опорні реакції в точках А, В і виконати перевірку правильності їх визначення.

Вказівка. Задача С1 – на рівновагу тіла під дією довільної плоскої системи сил. Розв’язання цієї системи буде простішим, якщо складати такі рівняння рівноваги, коли система розпадається на три окремі рівняння. Наприклад, рівняння моментів будуть простішими, якщо брати моменти відносно точки, де перетинаються лінії дії двох реакцій. При обчисленні моменту сили відносно полюса часто зручніше розкласти її на складові і , для яких плечі легко визначаються, і використати теорему Варіньйона

В залежності від конфігурації рами опори слід повертати в площині таким чином, щоб частина стрижня на схемі опори збігалась з частиною стрижня на схемі рами. Типи опор і їх реакції наведені в додатку А, а також в таблиці 1.1 [4]. В [4, стор. 18] наведена послідовність розв’язання задач на рівновагу.

Коли реакції в’язей знайдені, необхідно виконати перевірку правильності їх визначення. Для цього слід розв’язати першу задачу, коли відомі всі сили, що діють на тіло і необхідно з’ясувати, чи знаходиться воно в рівновазі. Використовується інша форма рівнянь рівноваги. Бажано, щоб в рівняння для перевірки входили всі реакції в’язей.

Приклад С1. Жорстка рама (рис. С1.1) має в точці А шарнірно-нерухому опору, а в точці В – часткове защемлення. Всі діючі сили і розміри показані на рисунку.

Дано:  = 4,5 кН;  = 11,5 кН;  =  ;  =  ;  = 3,5 кН/м;  = 6,5 кН/м; М = 12 кН·м. Визначити реакції опор в точках А і В.

Рис. С1.1

Таблиця С1

№ рядка	Типи опор в точках		Сила			Сила			Розподілене навантаження
	А	В	точка при-кладання		модуль сили, кН	точка при-кладання		модуль сили, кН	тип	дільниця	інтенсив-ність, кН/м.
1		-	С	30	5	К	10	12		DE	4
2			D	45	6	K	20	14		EK	6
3			Е	60	7	С	30	16		DН	q1=4 q2=8
4			Н	90	8	C	40	18		ЕК	10
5			К	20	9	Е	45	19		HD	5
6			С	30	10	К	50	20		EK	q1=3 q2=7
7			D	45	11	Н	60	22		KE	9
8			Е	60	12	С	70	24		DЕ	2
9			К	90	13	D	80	26		ЕК	q1=3 q2=5
0			Н	20	14	Е	90	28		КВ	4

Рис. С1

Типи опор і їх реакції наведені в додатку А.

Рис. С1.2

Розв’язання.

1. Розглядаємо рівновагу рами АDВ (рис. С1.2).

2. Вибираємо систему координат .

3. Показуємо активні сили і . Попередньо розкладаємо їх на складові: вертикальну і горизонтальну , модулі яких дорівнюють:

 кН,

 кН,

 кН,

 кН.

Розподілене навантаження замінюємо рівнодійною. Для цього в нашому випадку трапецію можна розділити на прямокутник та трикутник. Модулі їх рівнодійних дорівнюють відповідно

 кН,

 кН.

прикладена в центрі ваги прямокутника (т. L, ), прикладена в центрі ваги трикутника (т. N, ).

Розкладаємо сили і на вертикальні і горизонтальні складові, модулі яких

 кН,

 кН,

 кН,

 кН.

4. Відкидаємо в’язі і заміняємо їх реакціями. В точці А – шарнірно нерухома опора.

Згідно з таблицею С1.1, рядок 2, реакцію розкладаємо на і , в точці В – часткове защемлення (додаток А, рядок 6), в опорі виникає момент , який показуємо напрямленим (умовно) проти руху годинникової стрілки.

5. На раму діє довільна плоска система сил. Для такої системи можна скласти 3 рівняння рівноваги (4 стор.17, 18) в трьох формах.

Невідомі , , . Так як кількість невідомих збігається з кількістю рівнянь рівноваги, то система статично визначувана.

6. Складаємо рівняння рівноваги. В цьому випадку раціонально використати першу форму, тому що тоді система рівнянь розпадається на три окремих рівняння:

, (1)

, (2)

(3)

З рівнянь (1) – (3) знаходимо

,

,

Підставимо числові значення q проведемо обчислення:

,

,

7. Перевірка правильності визначення опорних реакцій. Відомі всі сили, які діють на раму. Необхідно встановити, чи знаходиться вона в рівновазі. Використаємо II-гу форму рівнянь рівноваги, а саме

Реакції визначені вірно.

8. Аналіз отриманих результатів.

Знаки реакцій показують, що їх напрям збігається з показаним на рис. С1.2.

Знаходимо, що

 кН.

Відповідь: кН;  кН·м.

Розглянемо один з варіантів використання прикладного математичного пакета серії Mathcad. Для розв’язку задачі скористаємось операторами Given та Find.

1. Задаємо вихідні дані та обнуляємо значення шуканих реакцій. Розмірності сил задано в кН, моменту – в кНм, величина кута  – в рад.

F_1x:=3.69 F_2x:=10.42 Q₁:=3.5 Q_1x:=1.2 Q_2x:=0.5 M:=12

F_1y:=2.58 F_2y:=4.86 Q₂:=1.5 Q_1y:=3.3 Q_2y:=1.4

R_Ax:=0 R_Ay:=0 M_B:=0

2. Записуємо систему рівнянь рівноваги.

Given

– F_1y0.5 – M + F_2y(1 + 0.75cos()) + F_2x0.75sin() – Q_1x(1.5 + 0.5)

sin() – Q_1y[1 + (1.5 + 0.5)cos()] – Q_2x(1.5 + 0.667)sin() – Q_2y

[1 + (1.5 + 0.667)cos()] + M_B = 0

R_Ax – F_1x – F_2x + Q_1x + Q_2x = 0

R_Ay – F_1y + F_2y – Q_1y – Q_2y = 0

3. Розв’язок системи рівнянь –

R:=Find(R_Ax, R_Ay, M_B)

4. Перевірка правильності визначення опорних реакцій.

– R₀₁1 + F_1y0.5 – M + F_2y0.75cos() + F_2x0.75sin() – Q₁(1.5 + 0.5) –

– Q₂(1.5 + 0.667) + R₀₁ = – 6.261  10^-3

5. Визначимо рівнодійну реакції в опорі А –

Величини опорних реакцій, отриманих за допомогою Mathcad, збігаються з результатами аналітичного розв’язку, але сам процес розв’язування суттєво спрощується.