Контрольное задание к теме №6

1. 2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

в) оба стрелка попадут в мишень;

г) ни один из стрелков не попадет в мишень;

д) ни один из стрелков не попадет в мишень.

2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.

3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

4. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашенные.

5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету?

6. Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после 3 операций, предполагая, что получения брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.

7. Из цифр 1, 2, 3, 4,5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.

8. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

9. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?

10. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки.

Тема №7 Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(H_i) (i = 1,2,…,n) можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p(H_i/ A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н₁ – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н₂ – переложены 2 разноцветных шара, Н₃ – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Н_i) p(A/H_i) + p(H₂) p(A/H₂) + p(H₃) p (A/H₃).

Вероятности гипотез Н_i и условие вероятности p(A/ Н_i ) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;