Уравнение Эйлера для работы лопастного колеса

Xтобы определить суммарный момент реакции лопаток рабочего колеса при их взаимодействии с потоком жидкости необходимо воспользоваться теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме, при установившемся движении изменение момента количества движения потока жидкости, проходящей через рабочее колесо нагнетателя в единицу времени, равно моменту сил реакции лопаток.

Определим момент количества движения. Пусть некоторая секундная масса жидкости m движется во вращающемся поле с абсолютной скоростью с (рис.3) относительно центра вращения О, находящегося в момент времени t на расстоянии R от этой массы. Как известно, вектор переносной скорости вращательного движения и перпендикулярен радиусу R и равен , где w₀ – угловая скорость вращения. Момент количества движения данной массы определится выражением:

.

Если проекцию абсолютной скорости на переносную скорость обозначить символом , то момент количества движения принимает вид:

mc

.

Рис.3. Схема вычисления момента

количества движения

R



0

Рассмотрим схему движения потока жидкости через рабочее колесо нагнетателя. Предположим, что все траектории жидких частиц в рабочем колесе на входе и на выходе с лопаток одинаковы. Подобное движение возможно в том случае, когда рабочее колесо нагнетателя имеет бесконечное число лопаток, расстояние между которыми мало. В этом случае проекцию абсолютной скорости на переносную скорость на входе потока в рабочее колесо обозначают символом , а на выходе из рабочего колеса – символом . Таким образом, изменение момента количества движения потока жидкости, прошедшей через рабочее колесо нагнетателя, равно:

,

где R₁, R₂ – радиусы входного и выходного сечения рабочего колеса.

В соответствии с теоремой об изменении момента количества движения полученное выражение надо приравнять к моменту сил М₀ реакции лопаток нагнетателя, то есть:

М₀ = .

Умножим и разделим правую часть последнего выражения на , получим:

.

Величина Г₁ представляет собой циркуляцию скорости на входе в рабочее колесо, величина Г₂ – на выходе из него. В соответствии с этим:

; . (1*)

Используя последние соотношения можно записать:

. (1)

В данном выражении разность Г₂ – Г₁ равна сумме циркуляции скорости вокруг лопаток рабочего колеса. Умножив обе части этого уравнения на угловую скорость вращения рабочего колеса w₀, приходим к понятию мощности:

. (2)

Действительно, левая часть этого выражения, определяющая работу, совершенную силами реакции лопаток нагнетателя в единицу времени, представляет собой мощность, передаваемую потоку жидкости лопатками рабочего колеса нагнетателя и называемую мощностью на валу N_В.

Работа, совершаемая силами реакции лопаток рабочего колеса, отнесенная к весу жидкости, проходящей через нагнетатель, называется теоретическим напором насоса Н_Т. В этом случае:

. (3)

Решая совместно два последних уравнения, получаем для теоретического напора насоса:

. (4)

Работу, совершаемую силами реакции лопаток рабочего нагнетателя, отнесенную к объему газа, прошедшего через нагнетатель, называют теоретическим давлением вентилятора . В этом случае:

, (5)

где L – подача вентилятора.

Заменив в равенстве (2) обозначение подачи с Q на L и решая совместно выражения (2) и (5), получим для теоретического давления вентилятора:

. (6)

Действительные значения напора наоса и давления вентилятора меньше соответствующих им теоретических значений, так как не вся энергия, передаваемая лопатками рабочего колеса нагнетателя, воспринимается потоком.

Выражения (4) и (6) представляют собой уравнения Эйлера, Имеем в виду, что и , произведя элементарные преобразования, получим:

(7)

Эти выражения связывают напор насоса и давление вентилятора со скоростью движения жидкости в рабочем колесе нагнетателя, зависящей от подачи, частоты вращения привода, геометрии рабочих колес и т.д. В тех конструкциях, где жидкость подводится к рабочему колесу без предварительной закрутки, часто полагают = 0. В этом случае выражения (7) имеют более простой вид:

(8)

Уравнения Эйлера в виде (8) используются при анализе работы лопастных нагнетателей.