2. Основные уравнения, используемые при расчете

К основным закономерностям, широко используемым при расчетах, анализе работы и испытаниях гидравлических машин различного назначения, а также присоединенных к ним сетей трубопроводов, относятся уравнение неразрывности расхода уравнение Д. Бернулли, уравнение Эйлера

Уравнение неразрывности.

Рассмотрим установившееся движение жидкости, ограниченной непроницаемыми для нее стенками. Пусть поток движется от сечения 1-1 к сечению 2-2. В соответствии с законом сохранения массы вещества та масса жидкости, которая находится между сечениями 1-1 и 2-2, для рассматриваемого случая движения должна быть постоянной. Это означает, что масса жидкости, прошедшая через живое сечение канала площадью f₁, будет равна массе жидкости, прошедшей через живое сечение канала площадью f₂, то есть

, (1)

где ₁ и ₂ – плотность жидкости, проходящей через сечение 1-1 и 2-2 соответственно.

С_1, с₂ – скорость потока.

Рисунок 1

Выражение (1) является следствием закона сохранения массы и называется уравнением неразрывности потока жидкости. Из этого уравнения следует, что если предположить существование внутри установившегося потока жидких струек, для каждой из которых должно выполняться условие

, (2)

то они не могут закончиться. Если несжимаемые (капельные) жидкости движутся под действием относительно малых перепадов давления и весь поток рассматривается как одна жидкая струйка, произведение называют объемным расходом потока (для нагнетателей вместо этого используется термин подача), произведение - массовым расходом.

Учитывая, что , , а масса равна произведению объема на массовую плотность, то выражение (1) можно записать в виде

, (3)

G - весовой расход – вес жидкости, проходящей через сечение потока за 1секунду. При ,

то есть скорость движения жидкости обратно пропорциональна поперечному сечению струи или потока.

Уравнение движения. Основными силами, действующими в движущейся жидкости, являются массовые и поверхностные. Если канал, в котором движется жидкость, является неподвижным, то единственной массовой силой, действующей в жидкости, будет вес. К поверхностным силам относятся силы гидродинамического давления и силы трения.

Рассмотрим установившееся движение вязкой жидкости с учетом ее сжимаемости. Выделим в трубке тока движущейся жидкости некоторый объем и ограничим его сечениями 1-1 и 2-2. Если рассматривать установившееся движение, то закон сохранения энергии можно сформулировать следующим образом: работа внешних сил и подведенная теплота расходуются на изменение механической и внутренней энергии рабочего тела.

Внешними силами, действующими при перемещении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2, являются силы давления и силы трения. Пусть за некоторый промежуток времени t под действием сил давления произойдет перемещение объема жидкости, заключенного между сечениями 1-1 и 2-2 в сечения 1^/ - 1^/ и 2^/-2^/. Это означает, что вблизи сечения 1-1 исчезнет элемент массы

, (4)

а около сечения 2-2 появится равный ему элемент массы

. (5)

Работа сил давлений, действующих на площадь сечения 1-1, равны , а на площадь сечения 2-2 - .

Cуммарная работа сил давления, под действием которых произошло перемещение жидкости из сечения 1-1 в сечение 2-2, определится выражением

, (6)

где V₁, V₂ – объем жидкости, прошедший через сечения 1-1 и 2-2 за время t.

Разделив каждый из объемов на массу жидкости, находящейся в этом объеме, получим выражение для определения удельной работы сил давления

, (7)

где - удельный объем жидкости, прошедшей через сечения 1-1 и 2-2.

Обозначим удельную работу сил трения, возникающую в потоке движущейся жидкости при ее перемещении . Таким образом, суммарная удельная работа внешних сил, совершаемая при перемещении потока жидкости из сечения 1-1 в сечение 2-2, с учетом направления этих сил запишется в виде

. (8)

Вследствие работы вязких сил возможный приток теплоты в трубку между сечениями 1-1 и 2-2 будет равен , где - количество теплоты, полученное каждой единицей массы жидкости, прошедшей между сечениями, или удельное количество теплоты, поступающей в массу жидкости между выбранными сечениями.

₁

₂

1^/

1

В соответствии с законом сохранения энергии удельные работа внешних сил и подведенная теплота должны привести к изменению удельных механической и внутренней энергии потока жидкости. Удельная внутренняя энергия обозначается U. Тогда, если принять, что потенциальная энергия обусловлена только силой тяжести ( ), содержание энергии в массе элемента жидкости , прошедшего через сечение 1-1, будет равно

, (9)

а через сечение 2-2

, (10)

где - удельная кинематическая энергия элемента массы.

Масса жидкости, находящейся между сечениями 1-1 и 2-2, остается постоянной, поэтому изменение удельной энергии при перемещении жидкости из сечения 1-1 в сечение 2-2 определится как разность удельных энергий элементов массы и . Тогда закон сохранения удельной энергии для выделенного элемента трубки можно записать в виде

. (11)

Уравнение сохранения энергии (11) может быть дополнено уравнением, вытекающим из первого закона термодинамики, согласно которому подведенная к системе теплота увеличивает ее внутреннею энергию и совершает работу расширения, то есть

. (12)

Подставляя уравнение (12) в (11) и имея в виду

получаем . (13)

После интегрирования имеем выражение

, (14)

представляющее собой уравнение Д.Бернулли, учитывающее как сжимаемость жидкости, так и работу сил трения. Каждый член уравнения (14) определяет энергию или удельную работу.

Рассмотрим несколько случаев записи этого уравнения.

1. Жидкость реальная, несжимаемая. Для несжимаемой жидкости имеем

,

тогда уравнение (14) можно записать в виде

(15)

где R – потеря удельной энергии.

При рассмотрении гидравлики капельных жидкостей, уравнение Д.Бернулли можно записать в виде суммы напоров. Для этого энергию и работу относят к весу жидкости, делят каждый член уравнения (14) на величину ускорения свободного падения

, (16)

где h_w – потери напора.

2. Жидкость идеальная, несжимаемая. В случае движения идеальной жидкости удельная работа сил трения (или потери) равна нулю и уравнение (16) приобретает вид

(17)

Если рассмотреть два сечения и предположить, что движение жидкости происходит без потерь, на основании закона сохранения энергии можно записать, что

, (19)

это уравнение Д.Бернулли для идеальной (невязкой) жидкости.

Если на пути от сечения 1 к сечению 2 жидкость встречает сопротивления, на преодоление которых теряется часть полного давления, то выражение примет вид

, (20)

то есть полное давление в сечение 2 меньше, чем в сечении 1 на величину R.

Если канал расположен горизонтально или плотность движущейся по каналу жидкости не отличается от плотности окружающей среды (например, в вентиляционных установках), то весовое давление из выражения можно исключить. Заменив выражение , уравнение примет более простой вид:

. (21)

Уравнение сохранения импульса.

Согласно теореме о сохранении импульсов изменение количества движения массы жидкости в единицу времени равно сумме всех внешних сил, действующих на эту массу Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рисунке 1. Изолируем массу жидкости, находящуюся между сечениями 1-1 и 2-2. В единицу времени переносится количество движения:

,

через контрольную поверхность 2-2:

.

Изменение количества движения равно

. (23)

В сечениях 1-1 и 2-2 из внешних сил действуют только силы гидродинамического давления, поэтому равнодействующая всех сил будет равна:

. (24)

Воспользовавшись формулировкой закона сохранения импульса и выражениями (23, 24), получим для течения жидкости в канале уравнение сохранения импульса в виде

или

. (25)

Полученное уравнение сохранения импульса совместно с уравнением Д.Бернуллли составляет основу при решении многих инженерных задач технической механики жидкости.

Циркуляция скорости. Изучение работы лопастных нагнетателей тесно связано с использованием такого понятия, как циркуляция скорости. Назовем криволинейным интегралом скорости вдоль кривой АВ интеграл от скалярного произведения вектора скорости с на линейный элемент длины dl кривой АВ, то есть

.

Если  есть угол между векторами с и dl , то

.

Криволинейный интеграл скорости, взятый вдоль замкнутого контура L (рис5) , называется циркуляцией скорости и обозначается буквой Г. Применяя для интеграла вдоль замкнутого контура знак , можно записать

.