1.4.2. Алгебра Шефера
Алгебра Шефера визначена на елементах і містить тільки одну функцію І-НЕ (функцію Шефера), яку для аргументів можна записати у вигляді
.
Аксіоми алгебри Шефера:
;
;
;
.
У алгебрі Шефера виконується тільки закон (властивість) комутативності (переставний закон)
.
Через те, що закон асоціативності (сполучний закон) не виконується, тобто
,
,
ускладнюється порівняно із функцією І каскадування елементів для одержання функції І-НЕ з більшою кількістю аргументів на базі логічних елементів І-НЕ із кількістю входів, меншою необхідної. Наприклад, якщо елементи мають два входи , а необхідно одержати функцію трьох аргументів, то еквівалентну форму в алгебрі Шефера можна одержати так:
.
Таким чином, схема, що реалізує праву частину співвідношення, повинна мати три рівні.
Канонічна нормальна форма в алгебрі Шефера містить терми Шефера -го рангу і забезпечує дворівневу схему. Змінні в термах і самі терми об’єднуються операцією І-НЕ.
Для одержання канонічної форми виписують терми Шефера для наборів, на яких функція приймає одиничні значення. Наприклад, якщо перемикальна функція на наборах з номерами 0, 4 і 6 приймає одиничні значення, то канонічна нормальна форма в алгебрі Шефера складатиметься із термів Шефера для відповідних наборів функції і матиме такий вигляд:
.
Враховуючи,
що в алгебрі Шефера нема функції НЕ,
заперечення над буквами означає, що
змінні можуть поступати на входи логічних
елементів із запереченнями. Якщо це
неможливо, то у формі виконується заміна
згідно з аксіомою
.
В цьому випадку одержана нормальна
форма матиме вигляд
.
Канонічну нормальну форму в алгебрі Шефера можна також одержати із ДДНФ за допомогою правила де Моргана.
Для функції, що розглядається, можна записати
.
Приклад. Одержати канонічну нормальну форму алгебри Шефера для функції, що задана у ДДНФ:
.
Побудувати комбінаційну схему реалізації функції на елементах І-НЕ, вважаючи, що на входи логічних елементів можуть подаватися аргументи та їх заперечення.
Застосовуючи правило де Моргана, отримаємо:
.
Комбінаційна схема, що реалізує задану функцію зображена на
рис. 1. 5.
Рис. 1. 5. Схема функції в елементному базисі алгебри Шефера
1.4.3. Алгебра Пірса
Алгебра Пірса визначена на елементах і містить тільки одну функцію АБО-НЕ (функцію Пірса або Веба), яку для аргументів можна записати у вигляді
.
Основні аксіоми алгебри Пірса:
;
;
;
.
Властивості алгебри Пірса і Шефера однакові. В алгебрі Пірса, як і в алгебрі Шефера, виконується тільки закон (властивість) комутативності
.
У алгебрі Пірса, як і у алгебрі Шефера, закон (властивість) асоціативності не виконується, тобто
,
.
У наслідок цього ускладнюється порівняно із функцією АБО каскадування елементів для одержання функції АБО-НЕ із меншою від необхідної кількістю входів. Наприклад, якщо елементи мають два входи, а необхідно одержати функцію трьох аргументів, то форму у алгебрі Пірса можна одержати так:
.
Канонічна нормальна форма в алгебрі Пірса забезпечує дворівневу комбінаційну схему і складається із термів Пірса. Змінні в термах і самі терми об’єднуються операцією АБО-НЕ.
Для одержання канонічної нормальної форми виписують терми Пірса для наборів, на яких функція приймає нульові значення. Наприклад, якщо перемикальна функція на наборах з номерами 0, 4 і 6 приймає нульові значення, то канонічна нормальна форма в алгебрі Пірса складатиметься із термів Пірса для відповідних наборів функції і матиме такий вигляд:
.
Канонічну нормальну форму в алгебрі Пірса можна також одержати із ДКНФ за допомогою правила де Моргана. Для функції, що розглядається, можна записати
.
Приклад. Одержати канонічну нормальну форму алгебри Пірса для функції, що задана у ДКНФ:
.
Побудувати комбінаційну схему реалізації функції на елементах АБО-НЕ з будь-якою кількістю входів за умови, що на входи логічних елементів можуть подаватися тільки прямі значення аргументів.
Із
застосуванням правила де Моргана та
аксіоми
,
отримаємо:
.
Комбінаційна схема, що реалізує задану перемикальну функцію, зображена на рис. 1. 6.
Рис. 1. 6. Схема функції на елементах АБО-НЕ