1. 5. Мінімізація систем перемикальних функцій

За спільної мінімізації декількох перемикальних функцій необхідно враховувати можливе дублювання однакових елементів з однаковими логічними сигналами на входах під час побудови комбінаційної схеми, шо приводить до її ускладнення.

Розглянемо систем функцій у диз’юнктивних нормальних формах булевої алгебри. Для усунення повторення однакових елементів у схемі на етапі мінімізації системи функцій необхідно виявити однакові імпліканти у запису різних функцій.

Для мінімізації можуть бути використані різні методи, зокрема, методи Квайна і Квайна – Мак-Класкі.

Вихідною формою для мінімізації системи функцій методом Квайна та Квайна – Мак-Класкі є ДДНФ системи перемикальних функцій, для отримання якої необхідно подати в ДДНФ кожну функцію. При цьому кожній конституенті одиниці приписується множина міток, що визначають її приналежність до певної функції.

Наведемо етапи мінімізації системи перемикальних функцій. 1. Записати ДДНФ системи перемикальних функцій.

2. Виконати склеювання термів.

3. Виконати всі можливі поглинання.

4. Скласти таблицю покриття.

5. Вибрати покриття для кожної функції.

Відмінності мінімізації систем перемикальних функцій від мінімізації окремих функцій полягають у такому.

Склеювання здійснюються тільки для тих термів, що мають хоча б одну однакову мітку. Отриманому в результаті склеювання терму присвоюється множина міток, що є перетинанням множин міток термів, які склеювались.

Поглинання одного терму іншим здійснюється тільки в тому випадку, коли множини міток двох термів цілком збігаються.

Під час вибору остаточної форми перемикальної функції з використанням таблиці покриттів необхідно прагнути до того, щоб загальне число букв у покритті було мінімальним.

Приклад. Виконати спільну мінімізацію системи перемикальних функцій , заданих таблицею істинності (табл. 12)

Таблиця

Параметри функцій

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 1 0 1 1 0 1 0	0 1 1 1 1 0 1 0	1 1 0 1 0 1 0 1

Для вирішення задачі мінімізації системи перемикальних функцій скористаємося методом Квайна – Мак-Класкі.

Формуємо комплекси кубів і приписуємо їм відповідні множини міток, що визначають належність термів до певних функцій.

Виконуючи склеювання, послідовно одержимо комплекси кубів і , де множини міток відповідають перетинанням множин міток термів, які склеювались:

000 {1, 3} X00 {1}

− − − − − − − −

001 {1, 2. 3} X01 {3}

010 {2} X10 {2}

100 {1, 2} X11 {3} XX1 {3}

− − − − − − − − − − − − − − − −

011 {1, 2, 3} 0X1 {1, 2, 3} XX1 {3}

101 {3} 1X0 {1, 2}

110 {1, 2} 1X1 {3}

− − − − − − − − − − − − − − − −

111 {3} 00X {1, 3}

01X {2}

Виконавши поглинання, визначимо імпліканти, що відповідають СДНФ системи:

X00 {1}

X10 {2}

0X1 {1, 2, 3}

Z = 1X0 {1, 2}

00X {1, 3}

01X {2}

XX1 {3}

Складаємо таблицю покриття (табл. ). В заголовках стовпців таблиці покриття записуємо конституенти окремо для кожної функції. Множина міток кожної імпліканти вказує на належність цієї імпліканти до відповідної функції, що необхідно враховувати під час заповнення таблиці.

Таблиця

Таблиця покриття

На підставі таблиці покриття знаходимо остаточні форми зображення функцій:

;

;

.

Одержано загальні імпліканти і для функцій та для функцій і , що забезпечує зменшення складності комбінаційної схеми.

Комбінаційна схема, яка реалізує знайдені форми перемикальних функцій наведена на рис.

Рис. Комбінаційна схема

Під час побудови комбінаційних схем, котрі відповідають системам перемикальних функцій, виникає проблема забезпечення заданого коефіцієнта розгалуження по виходу елементів, що реалізують спільні імпліканти.

Якщо число входів, до яких має бути підключений вихід елемента, перевищує коефіцієнт розгалуження, то застосовують способи дублювання елемента чи посилення сигналу.

У першому випадку в схему вводять необхідну кількість таких самих елементів, входи яких підключено паралельно, а в другому випадку вихідний сигнал підсилюється, наприклад, повторювачем з необхідним коефіцієнтом розгалуження.

На практиці досить часто доводиться реалізовувати сукупності булевих функцій. Якщо здійснити мінімізацію булевих функцій , що входять в систему, незалежно одна від одної, то спільна схема буде складатися із ізольованих під схем. Інколи її можна спростити за рахунок об’єднання ділянок під схем, що реалізують однакові члени, які входять в декілька булевих функцій системи.

Задача мінімізації систем булевих функцій добре досліджена в класі функціонально повних систем: І, АБО, НЕ. Розглянемо один із найпоширеніших методів мінімізації.

Допустимо, задана система повністю визначених булевих функцій, представлених в диз’юнктивній нормальній формі:

;

;

.

Всі різні елементарні кон’юнкції системи функцій об’єднаємо в множину , яку назвемо повною множиною елементарних кон’юнкцій системи функцій. В нашому випадку

. Сума рангів (число букв) елементарних кон’юнкцій множини являється зручним критерієм оцінки складності заданої системи булевих функцій.

Визначення. Система диз’юнктивних нормальних форм булевих функцій називається мінімальною, якщо її повна множина елементарних кон’юнкцій містить мінімальну кількість букв, а кожна диз’юнктивна нормальна форма булевої функції системи містить мінімальне число елементарних кон’юнкцій найменшого рангу. При цьому диз’юнктивна нормальна форма представлення булевої функції в мінімальній системі в загальному випадку не збігається з її мінімальною диз’юнктивною нормальною формою.

Мінімізація систем повністю визначених булевих функцій може здійснюватися за алгоритмом, аналогічним методу Квайна з незначними відмінностями.

Алгоритм мінімізації наступний.

1. Побудувати повну множину елементарних кон’юнкцій системи функцій, що мінімізується, вважаючи, що спочатку кожна із функцій системи представлена в ДДНФ. Кожній конституенті одиниці множини присвоїти ознаку, яка містить номери функцій системи, в котрі ця конституента входить.

2. Виконати мінімізацію ДДНФ функції , конституентами одиниці котрої являються всі елементи множини . При виконанні склеювань двох конституент одиниці кожній ново утворюваній елементарній кон’юнкції присвоїти ознаку , що складається із номерів функцій , спільних для двох склеюваних конституент одиниці. Останнє справедливе і для двох склеюваних елементарних кон’юнкцій з ознаками. Якщо ознаки склеюваних конституент одиниці не містять спільних номерів, то склеювання не виконується. Поглинання здійснюється тільки для елементарних кон’юнкцій з однаковими ознаками. Одержані в результаті склеювання і поглинання кон’юнкції називаються простими імплікантами системи функцій.

3. Побудувати імплікантну матрицю функції , аналогічну матриці Квайна з тією відмінністю, що для кожної конституенти одиниці відводиться стільки стовпців, скільки різних номерів функцій містить її ознака. Покриття матриці імплікантами виконується аналогічно методу Квайна.

Приклад. Система булевих функцій задана таблицею істиності (табл. 1. 20). Знайти мінімальну ДНФ системи булевих функцій.

Представимо кожну із функцій системи в

Таблиця 1. 20 ДДНФ:

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

;

.

1. Побудуємо повну множину

елементарних кон’юнкцій одержаної системи,

приписуючи кожній конституенті одиниці ознаку

входження в функції і :

; ; ; ; ; .

2. Побудуємо ДДНФ функції :

.

Для зручності виконання склеювання пронумеруємо кожну конституенту одиниці із ДДНФ функції і виконаємо всі склеювання:

;

1 2 3 4 5 6

1 – 2 : ;

2 – 3 : ;

4 – 6 : ;

5 – 6 : .

Після проведення всіх поглинань, з урахуванням ознак кожної кон’юнкції, одержимо

.

Подальші склеювання і поглинання неможливі. Одержано прості імпліканти заданої системи булевих функцій.

3. Будуємо імплікантну матрицю (табл. 1. 21). Стовпці матриці позначаємо конституентами одиниці із ДДНФ функції . Для кожної конституенти одиниці відводимо стільки стовпців матриці, скільки різних номерів функцій містить ознака конституенти. Рядки матриці помічаємо простими імплікантами системи булевих функцій. Заповнення матриці виконується аналогічно методу Квайна. Ядром функції , очевидно, являються прості імпліканти ; ; ; , де для відповідних конституент одиниці функції є єдина позначка на перетині стовпця і рядка імплікантної матриці. Вилучене ядро покриває всі

Таблиця 1. 21

Прості імпліканти системи функцій	Конституенти одиниці функції
	1	2	2	2	1	2	1	1
		+	+
					+			+
			+	+
							+	+
					+	+
	+	+

конституенти одиниці із ДДНФ функції .

Відповідно з цим маємо

.

Вилучивши для функції імпліканти з ознакою, що містить , одержимо наступну мінімальну диз’юнктивну нормальну форму системи функцій:

;

.

Велика трудомісткість проведення операцій склеювання і поглинання є недоліком розглянутого методу мінімізації.