9.1 Основы теории нечетких множеств.

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {_A (х)/х}, где

_A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {_A(х)/х}, где

_A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

_A(x₁)=0,3;

_A(x₂)=0;

_A(x₃)=1;

_A(x₄)=0,5;

_A(x₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅ } или

A = 0,3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0,5/x₄ + 0,9/x₅, или

A =	x1 x2 x3 x4 x5 0,3 0 1 0,5 0,9

.

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

9.2 Нечеткие модели управления

На данный момент, почти все реально работающие системы можно отнести к системам, работающим с помощью нечеткой логики.

В качестве модели системы, работающей с помощью нечеткой логики можно для примера взять систему управления автономной фотоветроэнергетической системой (ФВЭС). Она включает в себя следующие основные функциональные компоненты [8]:

Ф ЭУ (фотоэнергетическое устройство)

ВЭУ (ветроэнергетическое устройство)

Потребитель (жилой дом)

АБ (аккумуляторная батарея)

Каждый из этих компонентов обладает рядом характеристик многие из которых носят вероятностный характер. Солнечная и ветровая энергии имеют стохастическую природу. С учетом инертности системы представляется целесообразным управление с прогнозированием уровня приходящей энергии. В этом случае управление приобретает ярко выраженный нечеткий (расплывчатый) характер, что позволяет применить методы нечеткого управления

Пусть существуют знания эксперта о том, что необходимо зарядить аккумулятор, если уровень прогнозируемой солнечной и ветровой энергий высокий. Это знание можно представить с помощью нечеткого продукционного правила типа «если … то» следующим образом:

Если уровень энергии высокий, то зарядить аккумулятор (1) Здесь выражение, стоящее после если, называют антецедентом, предпосылкой, условием и т.п., а выражение, стоящее после то, – заключением, операцией и т.п. В нашем случае важно описать предпосылку и заключение в виде нечеткого отношения. Другими словами, в исходное выражение не попали данные о том, каков уровень энергии, и на сколько нужно увеличить заряд аккумулятора. При этом интерпретация с помощью нечеткого множества, например:

ВЫСОКИЙ = 0,1/3 КВтч + 0,3/5 КВтч + 0,7/7 КВтч + 0,8/9 КВтч + ­+ 0,9/11 КВтч  + 1,0/13 КВтч + 1,0/15 КВтч + 1,0/17 КВтч (2) гораздо более точно отражает мысль эксперта, нежели строгая интерпретация его слов: «До 11 КВтч еще невысокий уровень, а начиная с 13 КВтч – высокий». Аналогично заряд аккумулятора, если принять 800 Ач за полный заряд, можно описать с помощью следующей функции принадлежности:

ЗАРЯДИТЬ = 0,1/200 Ач + 0,2/300 Ач + 0,3/400 Ач + 0,5/500 Ач + ­+ 0,8/600 Ач + 1,0/700 Ач + 1,0/800 Ач. (3) Человек, проектирующий данную систему, создает из правил в словесном представлении типа (1) конкретные функции принадлежности типа (2), (3). Полученные функции принадлежности можно запомнить в ЭВМ как базу знаний. Например, формулы (2) и (3) можно запомнить как информацию в одномерном массиве, индексы в котором соответствуют элементам полного пространства. Без ограничения общности будем считать, что нечеткие продукционные правила типа (1) накапливаются в базе знаний. Пусть также при прогнозировании текущего уровня энергии обнаружено, что

Уровень энергии довольно высокий. (4) Если прогноз уровня энергии возможен с большей точностью, то можно получить точную информацию. Однако, на практике при управлении ФВЭС с учетом изменения облачности информацию с достаточно хорошей точностью получить не удается. В подобных случаях удобно принимать за информацию наблюдение (4), представленное с помощью нечеткого множества следующим образом:

Довольно ВЫСОКИЙ = 0,5/5 КВтч + 1,0/7 КВтч + 0,8/9 КВтч + ­0,2/11 КВтч. (5) Разумеется, предпосылка ВЫСОКИЙ и наблюдение «довольно ВЫСОКИЙ» образуются путем сопоставления. В четкой логике сопоставление не имеет смысла, поэтому никакого логического вывода сделать нельзя. Однако, мы говорим о человеке, а он, получит путем приближенного сопоставления вывод:

Если ВЫСОКИЙ, то

ЗАРЯДИТЬ

Довольно ВЫСОКИЙ

Слегка ЗАРЯДИТЬ (6) По сути он выполнил нечеткий вывод (точнее, провел приближенные рассуждения).