7. Кратні натурального числа. Найменше спільне кратне

Числа 36, 72, 180 діляться на 18. Кажуть, що числа 36, 72, 180 кратні числу 18.

Будь-яке натуральне число, яке ділиться на дане натуральне число, називають кратним даному числу.

Усі числа, кратні числу 18, можна одержати, множачи число 18 послідовно на числа 1, 2, 3, 4, 5, ... .

18, 36, 54, 72, 90, ... — числа, кратні 18.

Кожне натуральне число має безліч чисел, кратних йому, найменшим з яких є саме це число.

Запишіть числа, кратні 9, i числа, кратні 12, та підкресліть їх спільні кратні.

число 9	кратні:    9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, ...
число 12	кратні:    12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...

Спільними кратними чисел 9 і 12 є підкреслені числа 36, 72, ... . Усі вони діляться на 9 і на 12. Найменшим спільним кратним є число 36.

Найменшим спільним кратним двох натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Те, що найменшим спільним кратним чисел 9 і 12 є число 36, скорочено записують так: НСК(9; 12) = 36.

Розкладемо числа 9, 12 і їх найменше спільне кратне 36 на прості множники:

9 = 3  3;   12 = 2  2  3;    36 = 2  2  3  3.

Бачимо, що розклад числа 36 можна одержати, коли розклад числа 9 помножити на 2  2. Числа 2 і 2 — це такі множники з розкладу числа 12, яких немає в розкладі числа 9.

Назвіть послідовність кроків у знаходженні НСК двох чисел.

Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел, можна кожне з них розкласти на прості множники, і розклад одного з чисел помножити на ті множники другого числа, яких немає в розкладі першого.

Знайдемо найменше спільне кратне чисел 90 і 210.

90 = 2  3  3  5;                       210 = 2  3  5  7;

НСК(90; 210) = 2  3  3  5  7 = 630.

Якщо одне із чисел ділиться на інше, то більше з них є найменшим спільним кратним цих чисел. Наприклад, НСК(21; 63) = 63.

Найменшим спільним кратним двох взаємно простих чисел є добуток цих чисел. Наприклад, НСК(8; 9) = 72.

Найменше спільне кратне можна знайти не тільки для двох, але й для трьох і більше чисел.

Наприклад, для чисел 12, 18, 24 маємо:

12 = 2  2  3; 18 = 2  3  3; 24 = 2  2  2  3;

НСК(12; 18; 24) = 2  2  3  3  2 = 72.

Прочитайте

1. Знайти найменше чотирицифрове число, кратне 27.

 1000 — найменше чотирицифрове число. Поділимо його на 27:   1000 : 27 = 37 (ост. 1).

27  38 = 1026 — найменше чотирицифрове число, кратне 27. 

2. Крок батька дорівнює 72 см, а крок сина — 54 см. Знайти найменшу відстань, яку потрібно спільно пройти батькові та синові, щоб кожен з них зробив при цьому ціле число кроків.

· Шукана відстань у сантиметрах повинна виражатись таким найменшим числом, яке ділиться на 72 і на 54. Таким числом є найменше спільне кратне цих чисел. Знайдемо НСК(54; 72):

54 = 2  3  3  3;                     72 = 2  2  2  3  3;

НСК(54; 72) = 2  3  3  3  2  2 = 216.

Отже, шукана відстань дорівнює 216 см. На такій відстані батько зробить 216 : 72 = 3 кроки, а син — 216 : 54 = 4 кроки. ·

3. Знайти найменше спільне кратне чисел 15 і 12.

· Знаходимо кратні більшого із чисел і перевіряємо, чи діляться вони на менше число: 15 не ділиться на 12; 15 · 2 = 30 — не ділиться на 12; 15 · 3 = 45 — не ділиться на 12; 15 · 4 = 60 — ділиться на 12. Отже, НСК(15; 12) = 60. ·

Усно

153. Чи є число 45 спільним кратним чисел 9 і 15; 3 і 18?

154. Назвіть кілька спільних кратних чисел 4 і 5; 10 і 15.

155. Знайдіть найменше спільне кратне чисел:

а) 2 і 3;   9 і 18;   20 і 15;   30 і 45;

б) 2, 3 і 5;   10, 15 і 20;   5, 10 і 15.

Рівень А

Перевірте, чи буде перше число кратним другому:

156. а) 342 і 19; б) 21 324 і 108; в) 9225 і 45.

а) 492 і 41; б) 14 544 і 24; в) 4028 і 212.

158. Запишіть числа, менші від 150 і кратні числу 35.

Запишіть два числа, більші ніж 100 і кратні числу 28.

160. Доведіть, що дані числа є взаємно простими, та знайдіть їх найменше спільне кратне:

а) 8 і 9; б) 12 і 7; в) 4 і 25.

161. Знайдіть найменше спільне кратне чисел m і n, якщо:

а) m = 2  3  3  5, n = 2  3  7;

б) m = 2  2  2  3  11, n = 2  2  3  3  11.

Знайдіть найменше спільне кратне чисел m, n і k, якщо m = 2  3  3  5,   n = 3  3  11,   k = 2  2  2  3  5.

Знайдіть найменше спільне кратне чисел:

163. а) 9 і 24; б) 15 і 35; в) 48 і 60; г) 24 і 108;

д) 340 і 102; е) 444 і 296; є) 12, 18 і 42; ж) 360, 540 і 640.

а) 12 і 16; б) 25 і 35; в) 80 і 60; г) 110 і 121; д) 296 і 345; е) 186 і 248; є) 16, 24 і 36; ж) 340, 510 і 680.

165. Знайдіть найменше спільне кратне знаменників дробів:

а) ; б) ; в) .

Рівень Б

166. Знайдіть найбільше трицифрове число, кратне 29.

Знайдіть найменше чотирицифрове число, кратне 64.

168. Автомобіль вантажністю 3 т загрузили ящиками масою по 55 кг. Скільки ящиків загрузили, якщо їх загальна маса більша ніж 2,9 т?

169. Скільки є трицифрових чисел, кратних 37? Знайдіть з них ті, запис яких закінчується цифрою 8.

170. Скільки є трицифрових чисел, кратних 46? Знайдіть з них ті, запис яких закінчується цифрою 6.

Знайдіть усі трицифрові числа, кратні 43, запис яких закінчується цифрою 5.

172. Порівняйте добуток а  b з добутком HCД(а; b)  HCK(а; b), якщо: а = 6, b = 8; а = 18, b = 24.

173. Маленька коробка вміщує 12 олівців, а велика — 30. Знайдіть найменшу кількість олівців, які можна запакувати як лише в малі, так і лише у великі коробки.

Яке найменше число метрів тканини повинно бути у сувої, щоб її можна було продати відрізами лише по 3 м або лише по 4 м?

175. Рейс автобуса одного маршруту триває 48 хв, а іншого — 56 хв. Уперше ці автобуси одночасно вирушили зі спільної кінцевої зупинки о 6-й годині. О котрій годині вони вдруге одночасно вирушать із цієї зупинки?  

Відрізок АВ можна поділити на рівні відрізки завдовжки 42 мм, 63 мм та 84 мм. Яку найменшу довжину може мати відрізок АВ?

177. Три теплоходи здійснюють різні туристичні круїзи. Один круїз триває 12, другий — 9, третій — 18 діб. Повернувшись у порт, теплоходи наступного дня вирушають у новий круїз. 1 травня всі три теплоходи вийшли з порту за своїми маршрутами. Доведіть, що протягом травня всі три теплоходи не зустрінуться в порту одночасно.

178. На промені від його початку О послідовно відклали 7 відрізків завдовжки 15 см, а потім знову від точки О — 7 відрізків завдовжки 18 см. Чи мають відрізки завдовжки 15 см і відрізки завдовжки 18 см спільні кінці, відмінні від точки О?

Здогадайтеся

179. Якою може бути остання цифра числа, кратного:

а) 2; б) 3; в) 561.

Вправи для повторення

180. Лижник проїхав з гори 3 км 900 м, що становить 65% усього шляху. Знайдіть весь шлях.

181. Сума двох чисел дорівнює 14,85, до того ж, перше число на 1,25 більше від другого. Знайдіть ці числа.

182. Виконайте дії:

а)  ; б)  ; в)  .