§ 1. Подільність чисел

1. Дільники натурального числа

18 цукерок можна розділити порівну між 3 дітьми, давши кожній дитині по 6. Цю ж кількість цукерок, не розрізаючи їх, не можна розділити порівну між 4 дітьми. Якщо кожній дитині дати по 4 цукерки, то залишиться 2. Запишемо:

18 : 3 = 6;            18 : 4 = 4 (ост. 2).

Число 18 ділиться на число 3 без остачі (ще кажуть: 18 ділиться на 3). Число 3 називають дільником числа 18. Число 18 не ділиться без остачі на 4 (ще кажуть: 18 не ділиться на 4). Число 4 не є дільником числа 18.

Будь-яке натуральне число, на яке ділиться дане натуральне число, називають дільником цього числа.

Запишемо всі натуральні числа, на які ділиться число 18. Такими числами є 1, 2, 3, 6, 9, 18. Отже, число 18 має 6 дільників: 1, 2, 3, 6, 9 і 18.

Число 1 має лише один дільник — 1. Будь-яке інше число, наприклад, 23, обов’язково має принаймні два дільники — число 1 і саме число (23), до того ж, 1 — найменший дільник, саме число (23) — найбільший.

Прочитайте

1. Знайти всі дільники числа 36.

· Щоб знайти всі дільники числа 36, ділитимемо його на натуральні числа, починаючи з 1: 36 : 1 = 36; 36 : 2 = 18; 36 : 3 = 12; 36 : 4 = 9; 36 : 5 = 7 (ост. 1); 36 : 6 = 6; 36 : 7 = 5 (ост. 1); 36 : 8 = 4 (ост. 4) і т. д.

Кількість ділень можна зменшити. Знайшовши один дільник, одразу можемо записати ще один, який є часткою від ділення числа 36 на цей дільник. Дільники зручно записати так:

1	2	3	4	6
36	18	12	9	6

Отже, дільниками числа 36 є: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. ·

Усно

1. Чи правильно, що:

а) 9 — дільник числа 54; б) 8 — дільник числа 36; в) 44 — дільник числа 11?

2. Рівність 16  45 = 720 є правильною. Які з трьох чисел 16, 45, 720 є дільниками інших із цих чисел?

3. Назвіть найбільший дільник числа 21 350; найменший дільник.

Рівень А

Перевірте, чи буде перше число дільником другого:

4. а) 18 і 450; б) 126 і 5166; в) 7 і 25 108.

а) 23 і 759; б) 245 і 5885; в) 6 і 10 326.

6. Які з чисел 2, 4, 12, 15, 25, 30, 45, 120, 150 є дільниками числа 180?

Які з чисел 3, 6, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 110 є дільниками числа 210?

8. Запишіть усі дільники чисел 12; 23; 72.

Запишіть усі дільники чисел 24; 54; 56.

10. Чи може продавець дати здачу 2 грн. 45 к. монетами по 25 к.?

11. Жителі острова поділили між собою 48 зібраних кокосових горіхів порівну. Скільки жителів може бути на острові?

Рівень Б

12. Знайдіть найменше число, дільниками якого є числа:

а) 3, 5 і 7; б) 3, 12 і 14.

13. Запишіть чотири найменших числа, дільниками яких є числа 4 і 10.

Запишіть чотири найменших числа, дільниками яких є числа 6 і 9.

15. Запишіть усі трицифрові числа, менші від 500, для яких число 75 є дільником.

Запишіть усі трицифрові числа, менші від 500, для яких число 50 є дільником.

17. Знайдіть усі дільники числа, яке дорівнює добутку 2 · 3 · 5 · 7.

18. Знайдіть такі два числа, щоб при множенні першого на 9, а другого — на 15 одержати рівні добутки.

19. Задача-жарт. Багатоголовий змій знає 105 слів, до того ж, кожна голова знає однакову кількість слів і різні голови не знають одного і того ж слова. Скільки голів у змія, якщо їх більше, ніж 10, але менше, ніж 20? Яку найменшу кількість голів потрібно задіяти змієві, щоб вимовити 40 різних відомих йому слів?

Яку найбільшу кількість мішків із цукром масою по 70 кг можна навантажити на автомобіль вантажністю 3 т?

21*. Доберіть такі три числа, які мають лише три дільники. Яку закономірність можна помітити?

22*. Доберіть такі три числа, які мають лише чотири дільники.

Здогадайтеся

23. Розділіть 5 яблук, що є в корзині, між п’ятьма друзями так, щоб кожен одержав по яблуку й одне яблуко залишилося в корзині.

Вправи для повторення

24. Фермер зібрав 8,5 ц яблук першого сорту, що становить 0,4 маси всіх зібраних яблук. Скільки центнерів яблук зібрав фермер?

25. Клієнт поклав гроші до банку під 14% річних. Через рік сума вкладу становила 3420 грн. Яку суму клієнт поклав до банку?

26. Виділіть цілу та дробову частини неправильних дробів:

а)  б)