6. Найбільший спільний дільник

Випишіть усі дільники чисел 18 i 24 і підкресліть їх спільні дільники.

число 18	дільники:     1, 2, 3, 6, 9, 18
число 24	дільники:     1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Спільними дільниками (вони підкреслені) чисел 18 і 24 є числа 1, 2, 3, 6, найбільшим з них є 6. Число 6 є найбільшим натуральним числом, на яке діляться і 18, і 24.

Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Отже, найбільшим спільним дільником чисел 18 і 24 є число 6. Це скорочено записують так: НСД(18; 24) = 6.

У розглянутому прикладі ми легко знайшли найбільший спільний дільник чисел, записавши всі дільники кожного з них. Якщо числа великі й мають багато дільників, то знаходження найбільшого спільного дільника цим способом доволі громіздким.

Розглянемо ще один спосіб знаходження найбільшого спільного дільника, взявши числа 210 і 294. Розкладемо кожне із цих чисел на прості множники:

210 = 2  3  5  7;    294 = 2  3  7  7.

Підкреслимо всі спільні прості множники в розкладах даних чисел: 2, 3, 7. Числа 210 і 294 діляться на кожне із чисел 2, 3, 7 і на їх добуток: 2  3  7 = 42. Число 42 є найбільшим спільним дільником чисел 210 і 294:

НСД(210; 294) = 42.

Назвіть послідовність кроків у знаходженні НСД двох чисел.

Для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел можна розкласти ці числа на прості множники і знайти добуток їх спільних множників.

За таким правилом можна знаходити найбільший спільний дільник трьох і більше чисел. Знайдемо, наприклад, найбільший спільний дільник чисел 45, 75 і 90. Розкладемо ці числа на прості множники і підкреслимо спільні для усіх чисел множники:

45 = 3  3  5; 75 = 3  5  5; 90 = 2  3  3  5.

Отже, НСД(45; 75; 90) = 3  5 = 15.

Якщо серед даних чисел є число, на яке діляться інші з даних чисел, то це число є найбільшим спільним дільником даних чисел. Наприклад:

НСД(3; 6) = 3;     НСД(4; 16; 20) = 4.

Два числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називають взаємно простими числами. Наприклад, числа 16 і 27 є взаємно простими, бо їх найбільшим спільним дільником є 1.

Взаємно прості числа взагалі мають лише один спільний дільник — число 1. Тому якщо два числа мають спільний дільник, відмінний від 1, то вони не взаємно прості. Наприклад, числа 18 і 45 не є взаємно простими, бо мають спільний дільник 3.

Прочитайте

1. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок, використавши всі квіти?

· З даних квітів можна, наприклад, скласти 2 букети, у кожному з яких буде 12 волошок і 16 ромашок. Не можна скласти три букети, бо 32 ромашки не можна розділити на 3 однакові частини. Можна скласти чотири однакові букети, бо і 24 волошки, і 32 ромашки можна розділити на 4 однакові частини. Очевидно, що для розв’язання задачі потрібно знайти найбільше число, на яке можна розділити 24 волошки і 32 ромашки, тобто знайти найбільший спільний дільник чисел 24 і 32. Оскільки НСД(24; 32) = 8, то найбільше можна скласти 8 однакових букетів. Кожний такий букет складатиметься із 24 : 8 = 3 волошок і 32 : 8 = 4 ромашок. ·

Усно

124. Чи є число 3 спільним дільником чисел 27 і 45; 57 і 44?

125. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

а) 2 і 8; б) 15 і 3; в) 15 і 45;

г) 15 і 18; д) 31 і 33; е) 27 і 36.

126. Чи є взаємно простими числа 6 і 8;  6 і 9;  6 і 11?

127. Серед чисел 2, 9, 15 і 20 вкажіть усі пари взаємно простих чисел.

128. Назвіть кілька чисел, взаємно простих із числом 8; не взаємно простих із числом 8.

129. Чи може число, взаємно просте із числом 15, ділитися на 3; на 5?

130. Чи правильне твердження:

а) будь-які два парні числа не є взаємно простими;

б) будь-які два прості числа є взаємно простими?

Рівень А

131. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел m і n, якщо:

а) m = 2  2  3  5  5, n = 2  5  5  7; 

б) m = 3  7  7  7  11, n = 2  7  7  41.

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

132. а) 12 і 8; б) 36 і 48; в) 50 і 175; г) 100 і 81;

д) 308 і 324; е) 210 і 330; є) 2, 6 і 18; ж) 24, 36 і 42.

а) 9 і 12; б) 48 і 72; в) 6 і 78; г) 12 і 35; д) 130 і 78; е) 182 і 156; є) 6, 14 і 36; ж) 32, 64 і 96.

134. Знайдіть найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:

а) б) в) г) 

Чи є взаємно простими числа:

135. а) 3 і 1000; б) 49 і 240; в) 154 і 165; г) 14 332 і 8156?

а) 7 і 4000; б) 36 і 245; в) 187 і 230; г) 40 302 і 8001?

137. Запишіть усі числа, менші за 12 і взаємно прості із числом 12.

Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 8, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.

139. Запишіть усі неправильні дроби із чисельником 6, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.

Рівень Б

140. Знайдіть хоча б три значення а, за яких найбільшим спільним дільником чисел 18 і а є число 6.

141. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти із 48 цукерок і 36 яблук, якщо використати всі цукерки й усі яблука?

Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56 см і завширшки 48 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо?

143. Дерев’яний брусок завдовжки 48 см, завширшки 30 см і заввишки 24 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо?

Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 90 мандаринів, 405 цукерок і 135 пряників, якщо потрібно використати всі мандарини, цукерки і пряники?

145. Між усіма учнями класу розділили порівну 58 зошитів у лінійку і 87 зошитів у клітинку. Скільки учнів у класі? Скільки зошитів у лінійку і скільки у клітинку отримав кожен учень?

146. У кімнаті завдовжки 625 см і завширшки 475 см вирішили викласти долівку однаковими декоративними плитками квадратної форми, не розрізуючи їх. Який найбільший можливий розмір такої плитки? Скільки плиток найбільшого розміру потрібно, щоб викласти ними долівку?

Здогадайтеся

147. Як із 13 сірників завдовжки по 4,5 см скласти метр?

Вправи для повторення

148. Шлях завдовжки 210 км автомобіль проїхав в одному напрямі за 3 год, а у зворотному — за 4 год. Яка середня швидкість автомобіля за весь час руху?

149. За 3 год мотоцикліст проїхав 135 км, до того ж за першу годину він проїхав на 2 км більше, ніж за другу. Протягом третьої години мотоцикліст рухався зі швидкістю, яка дорівнює середній швидкості його руху за ці 3 год. Скільки кілометрів проїхав мотоцикліст за кожну годину?

150. Агроном підрахував, що із 32 га поля зібрали 352 т картоплі, а з решти 18 га — 207 т. Скільки картоплі зібрали в середньому з 1 га поля?

151. Розмістіть у порядку зростання числа: ; 11,3; ; 11,23.

152. Знайдіть пропущені числа.

а)  б)