5. Розкладання натуральних чисел на прості множники

Складене число 24 можна записати як добуток двох множників, наприклад, 24 = 6  4. Кажуть, що число 24 розкладено на два множники — 6 і 4. Числа 6 і 4 теж можна розкласти на множники: 6 = 3  2; 4 = 2  2. Тепер число 24 можна записати так: 24 = 3  2  2  2. У добутку 3  2  2  2 всі множники є простими числами. Отже, число 24 розкладено на прості множники.

Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел. Кожне складене число можна розкласти на прості множники. Наприклад:

210 = 2  3  5  7;   24 = 2  2  2  3 = 2³  3;  18 = 2  3  3 = 2  3².

Розкладаючи числа на прості множники, можна знайти прості дільники цього числа. До того ж, варто використовувати ознаки подільності чисел. Щоб розкласти на множники великі числа, користуються спеціальною схемою.

Н ехай потрібно розкласти на прості множники число 630. Записуємо це число і проводимо праворуч вертикальну риску. Найменшим простим дільником цього числа є 2; записуємо 2 праворуч від риски. Ділимо 630 на 2 і записуємо частку 315 ліворуч від риски під числом 630. Знаходимо тепер найменший простий дільник числа 315. Ним є число 3, записуємо його праворуч від риски. Ділимо 315 на 3, частку 105 записуємо ліворуч. Ділимо 105 на 3, отримуємо 35; 35 ділимо на 5, одержуємо 7. Число 7 просте, поділивши його на 7, маємо 1. Розклад закінчено.

Отже, 630 = 2  3  3  5  7 = 2  3²  5  7.

Прочитайте

1. Знайти всі дільники числа 126.

· Розкладемо число 126 на прості множники:

126 = 2  3  3  7. Дільниками числа 126 є: 1, прості числа 2, 3, 7 в одержаному розкладі та всі можливі добутки чисел 2, 3, 3, 7, тобто: 1; 2; 3; 7;  23; 27; 33; 37;  233; 237; 337;  2337.

Отже, дільниками числа 126 є:

1; 2; 3; 7; 6; 14; 9; 21; 18; 42; 63; 126. 

Запишемо всі дільники у порядку їх зростання:

1; 2; 3; 6; 7; 9; 14; 18; 21; 42; 63; 126. ·

Усно

106. Чи є розкладами на прості множники такі добутки:

2  17;      1  7;      2  3  25;      2³  3  11  23;      2  3²  5  27?

107. Розкладіть на прості множники числа: 4; 9; 10; 12; 50.

Рівень А

Розкладіть на прості множники числа:

108. а) 28, 35, 56, 64, 67; б) 120, 165, 459, 2000, 17 787.

а) 33, 36, 74, 91, 98; б) 250, 408, 576, 11 100, 78 720.

Чи ділиться число n = 23  3  163 на 2; на 6; на 12?

111. Чи ділиться число n = 2³  3³  5²  7 на 5; на 6; на 16; на 35?

112. Знайдіть усі дільники числа n, якщо:

а) n = 3  7  11; б) n = 2²  17.

Знайдіть усі дільники чисел:

113. а) 42, 106, 110; б) 44, 54, 140.

а) 30, 154, 186; б) 45, 56, 242.

Рівень Б

115. Знайдіть усі дільники числа n = 2³  41.

Знайдіть усі дільники числа 3144.

117. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається із двох однакових множників.

Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається з двох множників, одним з яких є 17.

119*. Замініть зірочку цифрою та знайдіть такі прості числа а, b, с, щоб була правильною рівність:

а) 33 = а  3  5  11;                    б) 02 = 3  3  а  b  с.

Здогадайтеся

120. Дівчинку запитали: «Скільки грибів ти знайшла?». Вона відповіла: «Менше, ніж 100, і якби я розклала їх на купки або по 3, або по 4, або по 7 грибів, то в кожному випадку залишку не було б». Скільки грибів знайшла дівчинка?

Цікаві розповіді Розташування простих чисел

Твердження про те, що кожне відмінне від 1 натуральне число можна записати у вигляді добутку простих множників і до того ж єдиним способом, якщо не брати до уваги порядок розміщення співмножників, є так званою основною теоремою арифметики — однієї з найдавніших математичних наук. (У перекладі з грецької мови «арифметика» — «мистецтво чисел».)

Відповідно до основної теореми арифметики прості числа є ніби цеглинами, з яких «будуються» натуральні числа. Цим і пояснюється увага до простих чисел з боку математиків усіх часів. Ще давньогрецький математик Евклід (бл. 365 – бл. 300 р. до н. е.) довів, що простих чисел є нескінченно багато, тому найбільшого простого числа не існує. Але ще й досі не з’ясовані закономірності розташування простих чисел у натуральному ряді.

Найталановитіші математики багатьох країн прагнули знайти закон розташування простих чисел.

У розв’язанні цього складного питання важливий результат одержав російський учений, академік Пафнутій Львович Чебишев (1821 – 1894). Він довів, що між будь-яким натуральним числом, яке більше від 1, і його подвоєнням завжди міститься хоча б одне просте число.

Про властивості простих чисел висловлено чимало цікавих гіпотез. Серед них найцікавішою є гіпотеза члена Петербурзької Академії Наук Хрістіана Гольдбаха (1690 – 1764), яка формулюється так: будь-яке натуральне число, більше від п’яти, є сумою трьох простих чисел.

Властивості простих чисел можна наочно уявити так:

а) уявімо прямолінійний дріт, що виходить із кімнати у світовий простір, проходить повз Місяць і далі за вогняну кулю Сонця — у світову нескінченність;

б) уявно підвісимо на ньому через кожен метр електричні лампочки і занумеруймо їх натуральними числами;

в) уявно увімкнемо світло з таким розрахунком, щоб засвітилися лампочки, номери яких є простими числами;

г) уявно полетимо уздовж цього дроту.

Перед нами розгорнеться така картина.

1. Лампочка за номером 1 не світиться, оскільки одиниця не є простим числом.

2. Дві наступні лампочки за номерами 2 і 3 світяться, оскільки числа 2 і 3 — прості. Більше таких лампочок, які є сусідніми та світяться, не побачимо.

3. Спостерігатимемо пари лампочок, що світяться, які відповідають числам-близнюкам (3 і 5, 5 і 7, 11 і 13 тощо). Найбільшою із відомих пар чисел-близнюків є 10 999 949 і 10 999 951.

4. Що далі летітимемо, то ставатиме темніше, бо рідше світитимуться лампочки. А ось настав чималий проміжок темноти. Але ми згадуємо властивість простих чисел, відкриту Евклідом, і сміливо рухаємося уперед, оскільки знаємо, що попереду ще обов’язково є лампочки, які світяться, і їх чимало.

5. Знову довго летимо, а попереду та позаду — темінь. Згадуємо властивість простих чисел, доведену Чебишевим, і прямуємо далі, впевнені в тому, що, пролетівши шлях, не більший від того, що пролетіли, ми обов’язково побачимо світло.

Вправи для повторення

121. Виконайте дії:

а) 0,2  0,35 + 1,2  0,35 + 2,2  0,35 + 3,2  0,35 + 4,2  0,35;

б) (1705 : 100 – 205 : 100)²; в) (135  50 – 80  50) : 10 000.  

122. Автомобіль проїхав 178 км за 3 год. За перші дві години він проїхав 121 км, а за дві останні — 118 км. Скільки кілометрів проїхав автомобіль за другу годину?

123. З міста А до міста В, відстань між якими 140 км, вирушив вантажний автомобіль зі швидкістю 56 км/год. Коли він проїхав 28 км, услід за ним вирушив легковий автомобіль. Знайдіть швидкість легкового автомобіля, якщо до міста В обидва автомобілі прибули одночасно.