Задачі підвищеної складності Подільність натуральних чисел

1426. Доведіть твердження.

а) Якщо кожний із двох доданків ділиться на деяке число, то й їх сума ділиться на це число.

б) Якщо зменшуване і від’ємник діляться на деяке число, то й різниця ділиться на це число.

в) Якщо один доданок ділиться на деяке число, а другий не ділиться, то їх сума не ділиться на це число.

г) Якщо сума двох доданків і один із цих доданків діляться на деяке число, то й інший доданок ділиться на це число.

д) Якщо один із множників ділиться на деяке число, то й добуток ділиться на це число.

1427. Якщо зменшуване і від’ємник при діленні на деяке число дають однакові остачі, то різниця ділиться на це число. Доведіть.

1428. а) Число а ділиться на 2 і на 3. Чи ділиться воно на 2  3?

б) Число а ділиться на 2 і на 4. Чи ділиться воно на 2  4?

1429. Дано два натуральні числа m і n. Доведіть, що число mn(m + n)  парне.

1430. Доведіть, що коли p  просте число, більше від 3, то число (p  1)(p + 1) ділиться на: а) 3; б) 8; в) 24.

1431. Якщо у запису 345028 замість зірочок у довільному порядку поставити цифри 2, 3, 4 і 5 (кожну  один раз), то одержане число поділиться на 36. Доведіть це.

1432. Напишіть довільне трицифрове число. Допишіть до нього це ж саме число. Чи ділиться одержане шестицифрове число на 7; на 11; на 13? Чи для будь-якого трицифрового числа це справедливо? Якщо так, то чому?

1433. Чи існують два натуральні числа, добуток яких дорівнює 168, а найбільший спільний дільник  14?

1434. Знайдіть усі прості числа x та y, для яких є правильною рівність:

а) 3x  y = 12; б) x + y = 31; в) x²  y² = 21.

1435. а) Знайдіть усі натуральні числа x і y, для яких виконується рівність 7x + 3y = 23.

б) Є дві труби завдовжки 7 м і 3 м. Чи можна, не вкорочуючи кожну з них, прокласти трубопровід завдовжки 23 м? Якщо можна, то яких і скільки труб для цього потрібно?

1436. Якщо від задуманого тризначного числа відняти 7, то одержане число поділиться на 7, якщо відняти 8  то поділиться на 8, а якщо відняти 9  поділиться на 9. Знайдіть задумане число.

1437. Кошик наповнений яблуками. Якщо їх виймати по 2, по 3, по 4, по 5 чи по 6, то в кошику залишатиметься щоразу по одному яблуку. Скільки яблук у кошику, якщо він може вмістити не більше 100 яблук?

1438. Для новорічних подарунків купили горіхи, цукерки і печиво  усього 760 штук. Горіхів купили на 80 більше, ніж цукерок, а печива  на 120 менше, ніж горіхів. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна зробити, використавши всі горіхи, цукерки і печиво?

Відсотки

1439. Із двох сплавів, один з яких містить 60% міді, а інший  80%, потрібно одержати сплав, що має масу 4 кг і містить 75% міді. Скільки кілограмів кожного сплаву потрібно для цього взяти?

1440. На початку року вкладник зняв зі свого рахунку 20% грошей і протягом року не вносив нових вкладів. У кінці року банк нарахував 5% річних, і на рахунку вкладника стало 840 грн. Скільки грошей було на рахунку вкладника із самого початку?

1441. Два натуральних числа назвемо «дзеркальними», якщо запис одного числа можна одержати, переставивши цифри іншого числа у зворотному порядку (наприклад, 352 і 253). Одне із двох «дзеркальних» трицифрових чисел на 240% більше від іншого. Що це за числа?

1442. За весну Карлсон схуд на 25%, потім за літо поправився на 20%, за осінь схуд на 10%, а за зиму поправився на 20%. Чи поправився він за рік?

1443. Чи правильно, що число 40 на стільки відсотків більше від числа 32, на скільки відсотків число 32 менше від числа 40?