45. Координатна площина

Положення точки на координатній прямій визначається числом  координатою цієї точки. Положення точки на площині можна задати двома числами.

Розглянемо приклад.

Місця для глядачів у залі кінотеатру можна задавати парою чисел: перше число вказує на номер ряду, а друге  на номер крісла у цьому ряді (рис. 69). До того ж, місця (3; 7) і (7; 3)  різні: перше є кріслом у третьому ряді за номером 7, а друге  кріслом у сьомому ряді за номером 3.

Рис. 69

Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку  точці О й мають рівні одиничні відрізки (рис. 70). Ці прямі називають осями координат, точку О  початком координат. Горизонтальну координатну пряму називають віссю абсцис і позначають буквою х, вертикальну координатну пряму називають віссю ординат і позначають буквою y. Вісь абсцис і вісь ординат утворюють прямокутну систему координат. Площину, на якій задана прямокутна система координат, називають координатною площиною.

Рис. 70

Нехай А  точка координатної площини (рис. 71). Проведемо через неї пряму b, перпендикулярну до осі абсцис, і пряму c, перпендикулярну до осі ординат. Нехай у перетині з віссю абсцис одержимо точку В з координатою 3, а в перетині з віссю ординат  точку С з координатою 2.

Рис. 71

Положення точки А на координатній площині визначається парою чисел (3; 2), які називаються координатами цієї точки. Координати точки записують у дужках: А(3; 2), читають: точка А з координатами 3 і 2. Першу координату точки А (число 3) називають абсцисою цієї точки, а другу координату (число 2)  ординатою. Точка K (рис. 71), навпаки, має абсцису 2 й ординату –3, тому K(2; 3) (на першому місці завжди записують абсцису точки, а на другому  її ординату).

Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Точки М і N (рис. 71) мають координати: М(4; 0), N(0; 2).

                       Рис. 72                                            Рис. 73

Отже, кожній точці координатної площини відповідає одна пара чисел  її абсциса й ордината. Навпаки, будь-якій упорядкованій парі чисел відповідає одна точка площини, для якої ці числа є координатами.

Щоб побудувати, наприклад, точку D(4; 3), можна провести перпендикулярну пряму до осі х у точці (4; 0) і перпендикулярну пряму до осі y в точці (0; 3) (рис. 72). Точка D перетину цих прямих має координати (4; 3). Побудувати точку D(4; 3) можна також, відрахувавши від точки О ліворуч 4 одиниці, а потім від одержаної точки вгору 3 одиниці.

Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називають координатними чвертями. Нумерація чвертей і знаки координат точок у кожній чверті показані на рисунку 73.

Усно

1331. а) Назвіть координати точок, зображених на рисунку 77.

б) Чому дорівнює абсциса точки А; С; М?

в) Чому дорівнює ордината точки D; N; O?

г) Назвіть абсциси точок, що лежать на осі ординат.

д) Назвіть точки, ординати яких дорівнюють 0.

е) У якій чверті лежить точка D; С; А; Е?

           Рис. 74                        Рис. 75

Рівень А

1332. Табір туристів розташований у точці О (рис. 75), довжині однієї клітинки відповідає відстань 1 км. Знайдіть координати місця, в яке прийдуть туристи, вийшовши з табору та пройшовши:

а) 4 км на захід і 3 км на південь; б) 3 км на схід і 5 км на північ;

в) 2 км на захід і 4 км на північ; г) 2 км на схід.

1333. Запишіть координати точок, зображених на рисунку 76.

Запишіть координати точок, зображених на рисунку 77.

Рис. 76                 Рис. 77

Побудуйте систему координат, узявши одиничний відрізок завдовжки 1 см, і позначте точки:

1335. А(2; 1); В(1; 3); С(0; 2); D(5; 0); M(5; 1); N(3; 5).

А(4; 1), В(4; 1), С(5; 3), D(5; 2), M(2; 0), N(0; 4).

1337. Запишіть координати трьох точок, які:

а) належать осі абсцис;

б) належать осі ординат;

в) мають ординату 3;

г) мають абсцису –2.

1338. Побудуйте точку А(–3; 5) і точку, координатами якої є числа, протилежні відповідним координатам точки А.

Побудуйте точку С(4; 1) і точку, координати якої дорівнюють модулям відповідних координат точки С.

1340. На координатній площині побудуйте кілька точок, які мають рівні абсциси й ординати. Чи лежать ці точки на одній прямій?

На координатній площині побудуйте кілька точок, що мають ординату 4. Чи лежать ці точки на одній прямій?

На координатній площині накресліть трикутник KLM, якщо K(3; 1), L(1; 1), M(0; 3).

1343. Побудуйте на координатній площині точки A(5; 0), B(4; 3), C(3; 4), D(0; 5), E(3; 4), K(4; 3), L(5; 0), M(4; 3), N(3; 4), P(0; –5), R(3; 4), S(4; 3) та коло із центром у точці О радіусом 5 одиничних відрізків. Переконайтеся, що побудовані точки лежать на цьому колі.

Рівень Б

1344. На координатній площині проведіть пряму, що проходить через точки С(2; 0) і D(4; 3). Позначте на цій прямій точки, абсциси яких дорівнюють 4; 0; 1. Запишіть координати одержаних точок.

На координатній площині проведіть пряму, що проходить через точки А(2; 3) і В(2; 5). Позначте на цій прямій точки з ординатами 1; 1; 2. Запишіть координати одержаних точок.

1346. Дано координати трьох послідовних вершин прямокутника KLMN: K(1,5; 2), L(1,5; 1) і M(3; 1).

а) Накресліть цей прямокутник.

б) Запишіть координати точки N.

в) Знайдіть периметр і площу прямокутника.

Точки A(3; 1) і B(1; 1)  дві сусідні вершини квадрата ABCD, ордината вершини С більша від ординати вершини В. а) Накресліть квадрат ABCD. б) Запишіть координати точок C і D. в) Знайдіть периметр і площу квадрата.

Позначте частину координатної площини, яку утворюють точки Р(x; y), якщо:

1348. а) x > 0, y > 0; б) x > 0, y = 0; в) x < 0, y < 1.

а) x = 0, y < 0; б) x < 0, y > 0; в) х < 1, y > 0.

Здогадайтеся

1350. Михайлик запросив Марійку грати в таку гру: з ящика із двома білими кулями й однією чорною витягається навмання дві кулі. Якщо кулі одного кольору, то перемагає Марійка, якщо різного — Михайлик. Чи є ця гра справедливою?

Цікаві розповіді З історії систем координат

Координати були потрібні астрономам і географам для визначення положення світил на небі й певних пунктів на Землі, для складання зоряних і географічних карт.

Прямокутна система координат у вигляді квадратної сітки (палетки) була відома ще у стародавньому Єгипті, нею користувалися і художники доби Відродження.

Ідея застосування координат у математиці належить вже згадуваному французькому математику Рене Декарту. На честь Декарта прямокутну систему координат називають ще прямокутною декартовою системою координат.

Термін абсциса походить від латинського слова abscissus, що означає відрізаний, відокремлений, а буквально перекладається як «відрізок» (на осі x).

Слово ордината походить від латинського слова аrdinatus — упорядкований.

Ці терміни в їх сучасному розумінні увів у кінці ХVІІ ст. німецький учений Г. Лейбніц (1646 – 1716). Щоб підркеслити рівноправність понять абсциса й ордината, Г. Лейбніц застосував термін координати, що походить від латинських слів со — з, разом, і аrdinatus — упорядкований. Цей термін означає «узяті в певній послідовності числа, що визначають положення точки на площині».

Вправи для повторення

1351. У шостому класі навчається 32 учні. За контрольну роботу 10 балів одержали 4 учні. Скільки відсотків учнів класу одержали 10 балів?

1352. Токар може виготовити партію деталей за 8 год, а його учень таку ж партію  за 12 год. За який час виготовлять партію деталей токар і учень, працюючи разом?

1353. Два трактори, працюючи разом, можуть виорати поле за 2 дні. За скільки днів зможе виорати це поле другий трактор, якщо перший може виорати його за 3 дні?