42. Розв’язування рівнянь

На рисунку 50 ви бачите терези, що перебувають у рівновазі. На одній шальці терезів лежать кавун та гиря масою 1 кг, а на іншій шальці  гирі загальною масою 6 кг.

Рис. 50

Нехай маса кавуна дорівнює х кг, тоді матимемо рівняння:

х + 1 = 6.

Знімемо з обох шальок гирі масою 1 кг, терези залишаться у рівновазі, тому матимемо рівняння:

х + 1  1 = 6  1   або   х = 6  1.

Порівняємо рівняння:

х + 1 = 6   і   х = 6  1.

Як можна одержати друге рівняння з першого?

Друге рівняння можна одержати з першого, якщо перенести доданок 1 з лівої частини рівняння у праву частину, змінивши знак доданка на протилежний.

На рисунку 51 ви бачите терези, що перебувають у рівновазі. На одній шальці лежать 4 батони, а на другій  2 батони і гиря масою 1 кг.

Рис. 51

Нехай маса одного батона дорівнює х кг, тоді матимемо рівняння:

4х = 2х + 1.

Знімемо з обох шальок по 2 батони, терези залишаться в рівновазі, тому матимемо рівняння:

4х  2х = 2х  2х + 1   або   4х  2х = 1.

Порівняємо рівняння:

4х = 2х + 1   і   4х  2х = 1.

Як можна одержати друге рівняння з першого?

Друге рівняння можна одержати з першого, якщо з правої частини перенести в ліву доданок 2х, змінивши його знак на протилежний.

Отже, доходимо висновку:

розв’язуючи рівняння, доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи при цьому їхні знаки на протилежні.

Нехай потрібно розв’язати рівняння 4х + 3 = 6х  5.

Перенесемо доданок 6х із правої частини рівняння в ліву, а доданок 3  з лівої частини у праву, змінивши знаки цих доданків на протилежні:

4х  6х = 5  3.

Спростимо ліву і праву частини рівняння: 2х = 8.

Знайдемо невідомий множник:  х = 8 : (2);  х = 4.

Перевірка: Ліва частина: 4  4 + 3 = 16 + 3 = 19.

Права частина: 6  4  5 = 24  5 = 19.

Обидві частини рівняння мають рівні значення, якщо х = 4. Тому число 4 є коренем рівняння.

Прочитайте

1. Розв’язати рівняння 5(2х  1) = 4х  23.

● 5(2х  1) = 4х  23;  10х  5 = 4х  23; 10х  4х = 23 + 5;  6х = 18; х = 18 : 6;   х = 3. ●

Усно

1261. Поясніть кожний крок розв’язання рівняння:

а) 7(х  2) = 5х;  7х  14 = 5х;   7х  5х = 14;   2х = 14; х = 14 : 2;   х = 7;

б) 11х  3  7х = 6  2х + 9;    4х  3 = 3  2х;     4х + 2х = 3 + 3;        6х = 6;           х = 6 : 6;        х = 1.

Рівень А

1262. Перенесіть з лівої частини рівняння у праву доданок, що не містить невідомого:

а) 5х + 1,2 = 2х + 11; б) 4х  9 = х  5,2.

1263. Перенесіть у ліву частину рівняння всі доданки, що містять невідоме, а у праву  усі доданки, що не містять невідомого:

а) 17х  5 = 8х + 5,6; б) 11y + 7 = 3y  10.

Розв’яжіть рівняння:

1264. а) 7х  5 = 6х + 1; б) 4х  3 = 2х + 5; в) 9  8y = 6y + 1;

г) 6m + 3 = 7m + 8; д) 9m  2 = 9m  2; е) 9a + 6 = 10a + 15;

є) 4y + 7 = 5 + 4y; ж) 0,7х + 1,6 = 0,1х; з) –4,5х  3 = 2,7х + 15.

а) 5х  5 = 2х  7; б) х  9 = 3х  6; в) 4,5y + 1 = 5 + 5y; г) 11х  1,8 = 7х + 1,4; д) 5,6х  1 = 1 + 6х; е) 5,7m 13,75 = 8,2m.

1266. а) 4(х  5) = 3х; б) 6(х + 2) = 18; в) 2(2х + 4) = 3х;

г) 2(х + 3) = 3(х  4); д) (3х + 1) = 2х; е) 3(2х  5) = 5х + 3.

а) 5х  4 = 3(х – 6); б) –(х + 4) = 2(х – 3); в) 7(3х – 1) = 4х + 23.

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння:

1268. а) 39  7y + 17 = 3y + 16; б) 15  6х = 2х  5х  3;

в) 2(y  6)  3y = 4y  y; г) 2(х + 1,5)  2 = х 3;

д) 5,6х  6 + 1,4х = 2,5(х  1); е) 0,3(3  х) = 0,3х + 0,3(5х + 2);

є) ж)

з) и)

і) .

а) 3(3х  1) + 5 = 8(х + 2) + 3; б) 5(y  7) = 30  (2y + 1); в) 4,5(х + 3)  1 = 7,2  5(х  2); г) 3(2,4t  3,5) + 6 = 9,7t  3;

д) е)

є) ж)

з)

Здогадайтеся

1270. З міста А до міста В є три різні дороги, а з міста В до міста С — чотири різні дороги. Скількома способами можна проїхати з міста А до міста С через місто В?

Вправи для повторення

1271. Довжина кола дорівнює 18,84 см. Знайдіть площу круга, радіус якого вдвічі більший від радіуса даного кола.

1272. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см, 4 см, 5 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

1273. За 1 год екскаватор виймає 60 м³ ґрунту. За скільки годин він вириє траншею завдовжки 140 м, завширшки 1 м і завглибшки 1,5 м?

1274. До деякого числа додали 62, одержану суму помножили на 3 й одержали 32. Знайдіть невідоме число.

1275. У чемпіонаті з футболу команда «Нива» набрала 32 очки. Якщо кількість очок, що набрала команда «Зоря», поділити на 2 й одержану частку збільшити на 14, то вийде кількість очок «Ниви». Яка із цих команд посідає в турнірній таблиці вище місце?