Пам’ятка до §5

1.	— координатна пряма.
2.	–7 і 7 — протилежні числа (відрізняються знаком).
3.	6 = 6 — модулем додатного числа є це саме число; 0 = 0 — модуль нуля дорівнює нулю; –10 = 10 — модулем від’ємного числа є протилежне йому додатне число.
4.	6 > 0 — додатне число більше від нуля; –7 < 0 — від’ємне число менше від нуля; –7 < 2 — від’ємне число менше від додатного; –15 < –12 — оскільки –15 > –12.
5.	–7 + (–5) = –12 — від’ємне число, модуль суми дорівнює сумі модулів: –7 + –5 = 12.
6.	–12 + 5 = –7 — перший доданок має більший модуль: –12 > 5, тому сума має знак «–», модуль суми дорівнює різниці більшого та меншого модулів: –12 –5 = 7.
7.	–3 – (–4) = –3 + 4 — до зменшуваного додали число, протилежне від’ємнику.
8.	a + (–b + c) = a – b + c — розкриття дужок, перед якими стоїть знак «+»; доданки, які були в дужках, зі своїми знаками; a – (–b + c) = a + b – c — розкриття дужок, перед якими стоїть знак «–»; доданки, які були в дужках, із протилежними знаками.

Запитання для самоперевірки і повторення

1. Що таке координатна пряма?

2. Де на координатній прямій розміщені точки, які відповідають додатним числам; від’ємним числам?

3. Які числа називають протилежними?

4. Які числа називають цілими; раціональними?

5. Чому дорівнює модуль додатного числа; від’ємного числа; нуля?

6. Як порівнювати числа за допомогою координатної прямої?

7. Яке число більше: додатне чи від’ємне?

8. Яке із двох від’ємних чисел більше?

9. Як додати два від’ємні числа?

10. Як додати два числа з різними знаками?

11. Як виконати дію віднімання?

12. Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+»?

13. Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–»?

Завдання для повторення §5

1121. Дано числа: 5; –8; 4,25; 506; 8; –1,6; 0,125; –206;

а) Які з даних чисел є натуральними; цілими; дробовими?

б) Запишіть числа, протилежні даним.

в) Знайдіть модулі чисел. Чи є серед чисел такі, що мають рівні модулі?

г) Розмістіть дані числа в порядку зростання.

1122. Накресліть координатну пряму з одиничним відрізком 1 см. Позначте на координатній прямій:

а) точки: А(–2); В(–3,5); С(–0,5); D(2,5); Е F(4);

б) точку K(–1,5) і точку, що має протилежну координату;

в) точки, модулі координат яких дорівнюють 2; 3,5; 0.

Знайдіть:

1123. а) –b, якщо b = 1,2; b = –3; б) х, якщо х = 4; х = 

1124. а) y, якщо y = 2,3; б) (–с), якщо с = –2.

1125. Обчисліть:

а) 1,5 + 0,98; б) 1 100 – 295; в) 2,4  2,5 – 6.

1126. Розв’яжіть рівняння:

а) х + 4 = 9; б) х – 1 =  ; в) 10 – х = 3,5; г) 2х – 4 = 6.

1127. Запишіть три значення х, що задовольняють умови:

а) х < 0 і х > 5; б) х < 0 і х  4.

Вкажіть одне число, яке:

1128. менше від але більше від

1129. менше від –3,3, але більше від –3,4.

1130. На координатній прямій позначте точки, координати яких задовольняють умову:

а) –2 < х < 2; б) –2,5 < х < –1; в) х < 1,5.

Запишіть усі цілі числа, які задовольняють кожну нерівність.

1131. Дано числа: 4 ; 18,5; 10 ; 15,6.

а) Від суми перших двох чисел відніміть суму решти чисел.

б) Від першого числа відніміть суму трьох останніх.

в) Від різниці перших двох чисел відніміть різницю третього і четвертого.

г) До різниці першого і четвертого чисел додайте суму другого і третього.

1132. Знайдіть за допомогою координатної прямої суму чисел:

а) 3 і 4; б) 5 і 2; в) 8 і 3.

1133. Дано числа: 14; 6; 11; 1,2. Запишіть кожне з них у вигляді:

а) суми двох різних чисел; б) різниці двох чисел.

1134. Запишіть суму числа а і числа, протилежного числу b. Обчисліть цю суму, якщо а = 21, b = 9.

1135. Запишіть суму числа а і числа, протилежного числу b. Обчисліть цю суму, якщо а = 17, b = 11.

1136. Обчисліть:

а) 386 + (–433); б) 4,68 + (5,06); в)

г) 10,8 +  ; д) ; е)

є)

ж)

1137. Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:

а) 4,35  5 – (1,63  2,72); б) (0,211 + 0,817)  (0,302  0,7).

1138. Спростіть вираз:

а) 5,3 + а + 7,2 + (1,8); б) b + 8,3 + (14,2) + 11  b;

в) а  (a + b) + (b  c); г) m + (m  n)  (k + a).

1139. Візьміть у дужки три останні доданки, поставивши перед дужками знак «+»; знак «–»:

а) 5  2 + 3  7  3,2; б) 4 + 5  7  9 + 14.

Розв’яжіть рівняння:

1140. а) 5 + х = 7,8; б) 4  х = 1,2; в) 11  х  8 = 2,3; г) x + 7  18 = 5; д) (х + 7) 11 = 8; е) 14  (x + 9) = 21.

1141. а) x = 2,7; б) x + 9 = 3; в) x  1 = 0; г) x + 5 = 2; д) 2 – x = 7; е) 3,5 – x = 10.

1142. Модуль суми чисел а і 5 дорівнює 0. Знайдіть а.

1143. На координатній прямій позначте деяку точку А(а) і точки В(а + 3); С(а  2); D(а  1,5).

1144. На координатній прямій точка А відповідає числу а + 3, а точка В  числу а  3. Якому числу відповідає середина відрізка АВ?

1145. Знайдіть відстань між точками А(x) і В(y), якщо:

а) х = 3; y = 2; б) х = 5; y = 4; в) х = 2; y = 7.

1146. На координатній прямій позначте точку А(2) і таку точку В, щоб довжина відрізка АВ дорівнювала 5 одиницям. Знайдіть координату точки В. Скільки може бути таких точок?

1147. Відстань між точками А(х) і В(4) дорівнює 7 одиницям. Знайдіть координату точки А. Скільки може бути таких координат?

1148*. Знайдіть три цілі числа, які задовольняють таким трьом умовам: 1) модуль кожного із чисел менший від 4; 2) сума двох найбільших чисел дорівнює 3; 3) сума двох найменших чисел дорівнює –1.

1149. Температура повітря за першу половину дня підвищилась на 6С, а за другу  знизилась на 3С. Як змінилась температура повітря за день?

Завдання для самоперевірки

І рівень

1. Запишіть числа, протилежні числам: 4; 0; –2.

2. Порівняйте числа –5 і 2.

а) –5 > 2; б) –5 < 2; в) –5 = 2.

3. Знайдіть модуль числа –7.

а) –7 = –7; б) –7 = 7; в) –7 = 0.

4. Знайдіть суму чисел –15 і +8.

а) –7; б) –23; в) 7; г) 23.

5. Обчисліть: –8 + (–15).

а) 7; б) 23; в) –7; г) –23.

6. Знайдіть різницю чисел –11 і +8.

а) –3; б) –19; в) 3; г) 19.

ІІ рівень

7. Знайдіть значення виразу –27 + 40 – (–11).

8. Розкрийте дужки та знайдіть значення виразу –37 – (15 – 23).

9. Розкрийте дужки та спростіть вираз (14 – a) – (–21 – a).

ІІІ рівень

10. Знайдіть значення виразу:

а) 2,9 + 1,8 + (11,1)  7,2; б) 5,4  (–10  5,4 + 4,7).

11. Розв’яжіть рівняння:

а) 7,3  х = 1,2; б) (х + 1,2)  1,9 = 2,4.

12. Знайдіть відстань між точками A(–4) і B(11).

IV рівень

13. На координатній прямій позначте точки, координати яких задовольняють умову х < 3 .

14. Розв’яжіть рівняння:

а) 2,9  (х  3,7) = 2; б) x  2,1 = 3; в) 4 – x = 9.

15. Відстань між точками С(х) і D(3) дорівнює 6 одиниць. Знайдіть координату точки С. Скільки розв’язків має задача?

§ 6. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

38. Множення раціональних чисел

Нехай у лютому, березні й квітні фермер брав у банку кредити по 5 тис. грн. щомісячно. Тоді за ці три місяці він узяв кредит на суму 5  3 = 15 (тис. грн.). Оскільки кредити є боргами фермера перед банком, то ми позначали їх від’ємними числами: 5 тис. грн.; 15 тис. грн. Тоді увесь кредит фермера у банку за 3 місяці в тисячах гривень можна записати так:

–5  3 = –15.

Які знаки мають множники? Який знак має добуток? Яка залежність між модулями множників і модулем добутку?

Числа 5 і 3 мають протилежні знаки, їх добутком є число від’ємне, а модуль добутку (числа 15) дорівнює добутку модулів множників (чисел 5 і 3): –15 = –5  3.

Добутком двох чисел з різними знаками є число від’ємне; модуль добутку дорівнює добутку модулів множників.

Отже, щоб знайти добуток двох чисел з різними знаками, досить перемножити їх модулі і поставити перед одержаним числом знак «–».

–5  3 = –(–5  3) = –(5  3)= –15.

Порівняємо добутки:

5  3 = 15  i  5  3 = 15.

Бачимо: якщо змінити знак одного множника (замість множника 5 взяти множник 5), то знак добутку теж змінюється, а модуль добутку залишається тим самим (15 = –15). Отже, якщо змінити знак множника, то знак добутку змінюється, а його модуль залишається тим самим.

Використаємо знайдену залежність для обчислення добутку від’ємних чисел 5 і 3.

Оскільки 5  3 = 15, то, змінивши у множникові 3 (або +3) знак «+» на знак «–», а в добутку –15  знак «–» на знак «+», прийдемо до рівності

5  (3) = 15.

Які знаки мають множники? Який знак має добуток?

Числа 5 і 3 від’ємні, їх добуток  додатне число; модуль добутку 15 дорівнює добутку модулів чисел 5 і 3.

–5  (–3) = –5  –3 = 5  3 = 15.

Добутком двох від’ємних чисел є число додатне; модуль добутку дорівнює добутку модулів множників.

Отже, щоб знайти добуток двох від’ємних чисел, досить перемножити модулі цих чисел.

Якщо число а  додатне, від’ємне або 0, то а  0 = 0.

Прочитайте

1. Виконати множення: а)    0,7; б) 9,8  (11,3).

● а) 1   0,7 =  =  =   = –

  б) 9,8  (11,3) = 9,8  11,3 = 110,74. ●

Усно

1150. Який знак має добуток:

а) 5  (1,2); б) 7  (89); в) 3  0,6; г) 0  (1,89)?

1151. Обчисліть:

а) 8  6; б) 8  (6); в) 8  6; г) 8  (6);

д) 7  (4); е) (7)  (4); є) 5  4; ж) 100  0.

1152. Який знак має добуток аb, якщо:

а) а > 0; b > 0; б) а > 0; b < 0; в) а < 0; b < 0;

г) а < 0; b > 0; д) а < 0; b = 0; е) а = 0; b > 0?

Рівень А

Виконайте множення:

1153. а) –15  7; б) –16  (–5); в) 12  (–9); г) 7  (–13).

а) 11  72; б) –11  (–72); в) 11  72; г) 11  (–72).

1155. а) 0,2  3; б) 2  (0,6); в) (1,2)  (2); г) 0,1  (20).

1156. а) –16  2,5; б) –4  (–10,5); в) 1,2  (0,8); г) 8  (4,05).

а) 1,8  4; б) –7  (1,2); в) 0,4  (100); г) 0,1  (17,2).

1158. а) ; б)  ; в)  ; г)

1159. а)  ; б) ; в) ; г)  .

а) б) ; в) ; г)

Знайдіть значення виразу:

1161. 12b, якщо b = 1; b = 1; b = 0,75; b = 6,5.

–25а, якщо а = –1; a = 8; a = –0,16; а = 6,4.

1163. Заповніть таблицю:

х	5	– 3	–0,3	0,5
–0,2х

Обчисліть:

1164. а) 16 + 8  (0,5); б) 2  (1,8  1,2); в)  .

а) 0,4  (10)  7; б) (0,1  0,6)  8; в)

1166. Запишіть у вигляді добутку:

а) х + х + х + х + х; б) 3х + 3х + 3х + 3х; в) а  а  а.

1167. Поставте замість зірочки знак «<» або «>» так, щоб утворилась правильна нерівність:

а) 7,2  (15)  100; б) 100  (3)  300; в) 0,2  (14)  –2,5.

Рівень Б

Обчисліть:

1168. а) (–7,6 – 5,8 + 4,5)  (6,3 – 8,2); б) –2,69  (– 0,8) + 0,7  (4,3 – 7,8);

в) –10,8  (–7,6 – 6,8  (–3,5)); г) (–7,65  (– 0,4) – 5)  (3 – 1,02).

1169. а) 5,6    (–5)   ; б) 0,75    7   (0,3);

в) г) 

а) 20,5  (46)  9,8  (1,05); б) 1,2  (6,39 + 4,84)    24,6; в)    (–1,5)      г) 3  

1171. Запишіть кожне із чисел 5; 10; 9; 0,6; 1,8 у вигляді добутку двох множників, один з яких дорівнює 1.

Запишіть кожне із чисел 1; 9; 16; 100 у вигляді добутку двох рівних множників. Скількома способами це можна зробити?

1173. Запишіть кожне із чисел 1; 9; 16; 100 у вигляді добутку двох протилежних чисел.

1174. Доберіть корінь рівняння:

а) 6  х = 4,2; б) 8  х = 5,6; в) 11  х = 77.

Які з чисел 4; 2; 1; 0; 1; 2; 3 є коренями рівняння х(х + 2) = 0?

1176. Для яких значень а та b правильні записи:

а) ab > 0; б) ab < 0; в) ab = 0?

Про три числа а, b і с відомо, що ab < 0, bс > 0. Чи може добуток ас дорівнювати –2; 2; 0?

1178. Про чотири числа а, b, с і d відомо, що ab > 0, bс < 0, cd > 0. Знайдіть знак добутку аd.

Здогадайтеся

1179. Якою цифрою закінчується добуток 21 множника, кожний з яких дорівнює 4?

Вправи для повторення

1180. Сума двох чисел дорівнює 12,5, до того ж, одне число в 4 рази більше від іншого. Знайдіть ці числа.

1181*. Сума двох чисел дорівнює 132, до того ж, одне з них закінчується нулем. Якщо цей нуль закреслити, то вийде інше число. Знайдіть ці числа.

1182. Перший насос наповнює басейн за 20 хв, а другий  за 30 хв. За який час наповнять басейн насоси, працюючи разом?

1183. Запишіть суму двох виразів і спростіть її:

а) 5,6 + a і a  0,8; б) 14,2  b і b  (21  b).

1184. Обчисліть:

а) 125  17  8  3; б) 2,5  1,5  4  0,6; в)