37. Розкриття дужок

Ви вже знаєте, що на підставі сполучної властивості додавання вираз a + (b + c) можна записати без дужок:

a + (b + c) = a + b + c.

Цю операцію називають розкриттям дужок.

Оскільки b = +b, то останню рівність можна записати так:

a + (+b + c) = a + b + c.

Ми розкрили дужки, перед якими стоїть знак «+». При цьому опустили дужки, знак «+», що стоїть перед ними, та записали всі доданки, які були в дужках, зі своїми знаками.

Отже, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», потрібно опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, та записати всі доданки, які були в дужках, зі своїми знаками.

З цього правила випливають такі рівності:

a + (–b + c) = a – b + c;

a + (b – c) = a + b – c, бо b = +b.

З правила віднімання раціональних чисел випливає, що

5 – (–7) = 5 + 7.

При виконанні цієї дії ми розкрили дужки, перед якими стоїть знак «–». При цьому опустили дужки та знак «–», що стоїть перед ними, і записали доданок, який був у дужках, з протилежним знаком. Так розкриватимемо дужки, перед якими стоїть знак «–» і тоді, коли доданків буде кілька:

a – (b + с) = a – (+b + с) = a – b – с.

Отже, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», потрібно опустити дужки і знак «–», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які були в дужках, із протилежними знаками.

Скориставшись цим правилом, матимемо:

a  (b  c) = a  (+b  c) = a  b + c.

Прочитайте

1. Спростити вираз: m + 3  (m  n + 4).

● m + 3  (m  n + 4) = m + 3  m + n – 4 =

= (m  m) + n + (3 – 4) = 0 + n + (–1) = n – 1. ●

2. Узяти два останні доданки в дужки, поставивши перед дужками знак «+», у виразі:  а) 1,2  4,1 + 3;   б) 4 + 5,3  2,1. 

● а) 1,2  4,1 + 3 = 1,2 + (4,1 + 3).

Після першого доданка поставили знак «+», відкрили дужки, два останні доданки переписали з тими самими знаками і закрили дужки.

б) 4 + 5,3  2,1 = 4 + (5,3 2,1).

_{(Перед першим доданком у дужках знак «+» можна не ставити.)} ●

3. Узяти два останні доданки в дужки, поставивши перед дужками знак «–», у виразі:  а) 3  4,2 + 3,7;   б) 10 + 7  4,2.

● а) 3  4,2 + 3,7 = 3  (4,2  3,7).

Після першого доданка поставили знак «–», відкрили дужки, знак «–» у доданку 4,2 змінили на «+», але не написали, оскільки у дужках цей доданок перший; у доданку +3,7 знак «+» змінили на «–».

б) 10 + 7  4,2 = 10  (7 + 4,2). ●

Усно

1099. Чи правильно розкрито дужки?

а) 3 + (5  2) = 3  5  2; б) 3  (5  2) = 3  5  2;

в) 3  (5 + 2) = 3 + 5  2; г) 3  (5 + 2) = 3  5 + 2.

Рівень А

1100. Розкрийте дужки:

а) 5 + (m  n); б) 7  (a + b); в) 3  (m + n); г) 5  (a  b + c).

Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:

1101. а) 11  (45  17); б) 14 + (15  41); в) 8  (53  48);

г) 73  (51  36); д) 15  (–4 + 27); е)

а) –32  (53  72); б) 40 – (–17 + 35); в) 12 + (–32  17); г) –38  (–81 + 39); д) 75 + (–84 + 7); е)

1103. а) –(59  75)  (34  49); б) (82  9) + (32  8);

в) (49  5)  (29  4); г) –(8  102)  (142  53).

Розкрийте дужки і спростіть вираз:

1104. а) 9  (а + 37); б) –(4  а + 2)  118;

в) b + (78  b – 19); г) (а + 51) – (–а  49).

а) 24  (56  а); б) 41  (52 + b – 15); в)  (5 + а)  72; г)  (а – 6) + (42 + а  58).

Рівень Б

1106. Спростіть вираз a + b  (b  c) + d і знайдіть його значення, якщо а = 3,1; b = 0,017; с = 0,2; d = 5.

Спростіть вираз a  b + (b  c) + 1,8 і знайдіть його значення, якщо а = 0,2; b = 0,35; с = 3.

Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:

1108. а) (–3,5 + 7,6) – (10,8 – 8,3); б) 85 – (3,17 + 4,6 – 5,8);

в) г) –(–5,76 – 6,04 + 7,2)  3,6;

д) 

а) б) (4,8 – 5,3) – (–4,3 + 4,8).

1110. Запишіть суму виразів і спростіть її:

а) 5 + a і a + 2,3; б) 0,35 + m і 4,4  m  2,65;

в) a  b і b  a; г) a  b + c і b  a + 3.

1111. Запишіть різницю виразів і спростіть її:

а) с + 17,1 і 8,5 + с; б) а + b і b  a;

в) a + b і b + c; г) a + b + k і b  a  2.

Розв’яжіть рівняння, спростивши спочатку вираз у лівій частині:

1112. а) 4,8  (5,8 + х) = 1,2; б) (х + 7,2)  14 = 2,3;

в) 9 + (14,7  х) = 1,3; г) (x  1,9)  15 = 14,1.

а) 8,3  (–3,2 + х) = 12; б) –(х – 2,25) + 4,88 = 1,3.

Візьміть у дужки два останні доданки, поставивши перед дужками знак «+»; знак «–»:

1114. а) 4 + 3  7; б) b  a +5; в) 8  а + b; г) 5  а  b.

а) 5 + 8  3; б) 7  а + b; в) а  5 + b; г) 4 + а + b.

Здогадайтеся

1116. Щоденно опівдні з порту А до порту В і з порту В до порту А, вирушають пароплави. Рейси всіх пароплав тривають 10,5 діб. Скільки пароплавів зустрічає за час рейсу кожний із цих пароплавів?

Вправи для повторення

1117. Периметр трикутника АВС дорівнює 15 см. Довжина сторони АВ становить 44% периметра, а довжина сторони ВС становить довжини сторони АВ. Яка довжина сторони АС?

1118. У парку росте 450 дерев. Липи становлять кількості всіх дерев і 80% кількості осик. Скільки лип і осик разом росте в парку?

1119. Водій мав перевести вантаж з міста А до міста В, відстань між якими дорівнює 180 км. Він планував їхати 3 години й о 10 год ранку бути в місті В. Однак водій виїхав із запізненням і, щоб прибути до міста В вчасно, збільшив заплановану швидкість на 20%. О котрій годині водій виїхав з міста А?

1120. Відстань між пунктами А і В дорівнює 60 км, до того ж,  шляху припадає на шосе, а решта  на ґрунтову дорогу. Мотоцикліст проїхав шлях між цими пунктами, рухаючись шосе зі швидкістю 40 км/год, а ґрунтовою дорогою  удвічі повільніше. Скільки часу їхав мотоцикліст?