32. Модуль числа

Нехай з пункту О у протилежних напрямах виїхали два автомобілі й через деякий час перший був у точці А(–20) , а другий  у точці В(15) (рис. 40).

Який з автомобілів проїхав більшу відстань?

Щоб відповісти на це запитання, потрібно порівняти відстані ОА й ОВ. Оскільки ОА = 20, ОВ = 15 і 20 > 15, то більшу відстань проїхав перший авто­мобіль.

Рис. 40

Отже, щоб відповісти на запитання, ми порівнювали не числа –20 і 15, а числа «без знаків» 20 і 15, або ще кажуть: порівнювали модулі чисел –20 і 15.

Модулем додатного числа і нуля називають саме число, модуль нуля дорівнює нулю.

Для позначення модуля числа використовують дві вертикальні риски, тобто пишуть 15 = 15 (читають: модуль п’ятнадцяти дорівнює п’ятнадцять), –20 = 20.

Для додатних чисел 2; 3,5; і нуля маємо: 2 = 2; 3,5 = 3,5; 0 = 0. Взагалі,

модулем від’ємного числа називають протилежне йому додатне число.

Для від’ємних чисел –5; –4,8; маємо: –5 = 5; –4,8 = 4,8; . Взагалі,

Отже, модулем будь-якого числа є додатне число або число 0.

З геометричної точки зору модуль числа дорівнює відстані на координатній прямій від початку відліку до точки, яка зображує це число (рис. 41).

Рис. 41

Модуль числа 3 дорівнює 3, і відстань від початку відліку до точки, що відповідає цьому числу, дорівнює 3. Модуль числа –4 дорівнює 4, і відстань від початку відліку до точки, що відповідає цьому числу, дорівнює 4.

Якщо х = 3, то х = 3 або х = –3;

якщо х = 0, то х = 0;

не існує числа, для якого виконувалася б рівність х = –3, оскільки модуль будь-якого числа є завжди додатним числом або нулем.

Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, для протилежних чисел –2 і 2 –2 = 2 і 2 = 2.

Прочитайте

1. Розв’язати рівняння: 3х + 4,5 = 9,3.

 3х = 9,3  4,5; 3х = 4,8; х = 4,8 : 3; х = 1,6; х = 1,6  або  х = –1,6. 

2. Знайти від’ємні цілі числа, для яких х < 3.

 Такими числами є:

x = 1, бо 1 = 1 і 1 < 3;

x = 2, бо 2 = 2 і 2 < 3.

Модулі решти від’ємних цілих чисел (–3; –4; –5; –6; –7; …) більші від 3 або дорівнюють 3. 

3. На координатній прямій позначити точки, координати яких задовольняють умову x < 2,6. Знайти від’ємні цілі числа, які задовольняють цю умову.

 Умову x < 2,6 задовольняють числа, які на координатній прямій лежать між числами 2,6 і 2,6. Ця частина координатної прямої на рисунку 42 заштрихована.

Рис. 42

Від’ємними цілими числами, які задовольняють умову x < 2,6, є лише числа 2 і 1. 

Усно

943. Чому дорівнює модуль кожного із чисел: 1,2; 7; 0; 0,3; 1,2; 4,1; 0,15? Чи може число мати від’ємний модуль?

944. Яка відстань від початку відліку до кожної з точок: А(3); В(5); С(1,3); D(0,8)?

945. Відомо, що а = 10. Чому дорівнює а?

Рівень А

946. Знайдіть модуль кожного із чисел: 2,1; 1,8; 0,2; 3,01; 0,23. Запишіть відповідні рівності.

Знайдіть x, якщо x = 5,6; x = 100; x = 0,01; x = 0,27; x = 40,2.

948. Знайдіть х, якщо:

а) х = 6; б) х =  ; в) х = 1,2; г) х = 0; д) х = 2.

Запишіть усі числа, що мають модуль 15; 0; 0,7.

Позначте на координатній прямій числа, модулі яких дорівнюють:

950. 2; 3; 0; 4,5; 0,5.

1; 2,5; 3,5; 4.

952. Знайдіть: а) додатне число, модуль якого дорівнює: 14; 19,5; 0,29; 7,2; 1; б) від’ємне число, модуль якого дорівнює: 2; 5,1; 89; 20; 5. Запишіть відповідні рівності.

Знайдіть значення виразу:

953. а) 517  311; б) 10  2,5; в) 6,4 : 1,6;

г) 7,2 : 1,8; д) 0,5  0,1; е) 1,51 + 0,372.

а) 1,7  0,9; б) 10,2 + 3,8; в) 65  0,8; г) 4,2 : 14; д) 2,5  20; е) 1,05 : 1,5.

955. Порівняйте модулі чисел:

а) 3,81 і 3,01; б) 11,1 і 12; в) 0,72 і 0,73;

г) 5,1 і 0; д) 49,1 і 49,1; е) 12,3 і 0.

Виберіть число, модуль якого найбільший: а) 14,2; 15; 2; 18; 13,5; б) 90; 53,4; 7; 63,8.

Рівень Б

957. Знайдіть значення виразу:

а) 14   5,1 ; б)  4,2.

Знайдіть значення виразу а  b  а, якщо а = 5 , b = 0,4.

Розв’яжіть рівняння:

959. а) х  0,3 = 2; б) х +   = 3; в) 4  2х = 0,2; г) х + 10 = 0.

а) х + 1 = 5; б) 1  х = 0,2; в) 2х  1,6 = 2; г) х + 1,2 = 0.

Знайдіть усі цілі числа, для яких виконується умова:

961. а) х < 4; б) ; в) х < 2,53; г) х < 2.

а) х < 2; б) х < 1; в) х < 3,8; г) х < 0.

963. Скільки є цілих чисел, для яких виконується умова:

а) х < 5; б) ; в) х < 5,8; г) х < 45,5?

Знайдіть три від’ємних цілих числа, для яких виконується умова х > 3.

965. Знайдіть усі від’ємні цілі числа, для яких виконується умова х < 7.

На координатній прямій позначте точки, координати яких задовольняють умову:

966. а) х < 3; б) х < 2 .

а) х < 2; б) х < 3,5.

968. а) Знайдіть відстань між точками М(х) і N(–х), якщо х = –2,5.

б) Знайдіть х, якщо відстань між точками М(х) і N(–х) дорівнює 6 одиниць.

Відомо, що а = b. Чи правильно, що а = b?

970. Відомо, що х = y. Чи правильно, що х = y ?

Здогадайтеся

971. Батько, що мав трьох синів, заповів, щоб після його смерті сини поділили табун коней так: старший син узяв половину всіх коней, середній — третину, а молодший — дев’яту частину усіх коней. Батько помер і залишив 17 коней. Сини не могли розділити коней і звернулися до мудреця. Він приїхав на своєму коні й розділив коней між синами так, що усі вони залишилися задоволеними. Як він це зробив?

Вправи для повторення

972. Яке із чисел більше:

а) 9841 чи 10 559; б) 10,40 чи 10,4; в) 8,41 чи 8,409; г) 1 чи 2 ; д) 5 чи 5 ; е) чи ?

973. Розв’яжіть рівняння 3х – 3,5 = 8.

974. Знайдіть:

а) а, якщо а = 2,6; а =  ; а = 0; б) k; (k), якщо k = 7.

975. Легковий і вантажний автомобілі рухаються назустріч один одному. Швидкість легкового автомобіля дорівнює 80 км/год, а швидкість вантажного становить 65% від швидкості легкового. Знайдіть відстань між автомобілями через 0,5 год після їх зустрічі.

976*. Із двох селищ, відстань між якими дорівнює 28 км, одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Швидкість одного мотоцикліста дорівнює 24 км/год, що становить 75% від швидкості іншого. Знайдіть відстань між мотоциклістами через 36 хв після їх виїзду із селищ.