2. Ознаки подільності на 2, 5 і 10

Як відомо з п’ятого класу, щоб помножити натуральне число на 10, потрібно до запису цього числа дописати праворуч один нуль, наприклад, 137 · 10 = 1370. Оскільки 10 є дільником числа 1370, то число 1370 ділиться на 10. Загалом, на 10 діляться усі числа, запис яких закінчується цифрою 0.

Число, запис якого не закінчується цифрою 0, наприклад, 457, на 10 не ділиться.

Натуральне число, запис якого закінчується цифрою 0, ділиться на 10. Натуральне число, запис якого не закінчується цифрою 0, не ділиться на 10.

Це правило називають ознакою подільності на 10.

Знайдемо ознаку подільності на 5. Для цього поділимо на 5 деякі числа, наприклад, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.

Запишемо до першого стовпчика ті числа, які діляться на 5, а до другого — ті, які не діляться на 5.

140 19

245 82

515 344

630 1027

Яку ви помітили особливість чисел, які діляться на 5; не діляться на 5?

Натуральне число, запис якого закінчується цифрою 0 або 5, ділиться на 5. Натуральне число, запис якого закінчується цифрою, відмінною від 0 або 5, не ділиться на 5.

Числа, що діляться на 2, називають парними, а числа, що на 2 не діляться, — непарними. Наприклад, 24 — число парне, оскільки воно ділиться на 2, а число 25 — непарне, бо воно не ділиться на 2.

Одноцифрові числа 0, 2, 4, 6, 8 є парними, а числа 1, 3, 5, 7, 9 — непарними.

Запис кожного числа, що ділиться на 2, закінчується одноцифровим парним числом. Якщо запис числа закінчується одноцифровим непарним числом, то воно не ділиться на 2.

Натуральне число, запис якого закінчується одноцифровим парним числом, ділиться на 2. Натуральне число, запис якого закінчується одноцифровим непарним числом, не ділиться на 2.

Для тих, хто хоче знати більше

Знаючи останню цифру в записі натурального числа, можна встановити, чи ділиться воно на 2, 5 чи 10.

Знаючи дві останні цифри в записі натурального числа, можна відповісти на запитання, чи ділиться число на 4, на 25. А саме:

Натуральне число ділиться на 4, якщо число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на 4.

Натуральне число не ділиться на 4, якщо число, утворене двома його останніми цифрами, не ділиться на 4.

Натуральне число ділиться на 25, якщо число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на 25.

Натуральне число не ділиться на 25, якщо число, утворене двома його останніми цифрами, не ділиться на 25.

Наприклад:

14 536 ділиться на 4, оскільки двома його останніми цифрами записане число 36, яке ділиться на 4;

57 375 ділиться на 25, оскільки 75 ділиться на 25;

28 426 не ділиться на 4, оскільки 26 не ділиться на 4;

438 635 не ділиться на 25, оскільки 35 не ділиться на 25.

Усно

27. Гра «Допиши цифру». 

Перший гравець записує найменше натуральне число, що ділиться на 2, другий дописує до нього праворуч таку цифру, відмінну від попередньої, щоб отримане число ділилося на 2, і називає це число, третій дописує до утвореного числа таку цифру, відмінну від попередніх, щоб отримане число знову ділилося на 2, і т. д.

28. Серед чисел 93, 105, 172, 308, 400, 1511, 2005, 31 510, 113 575, 5 347 300 назвіть ті, що діляться на 2; на 5; на 10.

29. Гра «Гоп». 

Ведучий називає число. Якщо воно ділиться на 2, 5 або 10, то учасник, на якого вказує ведучий, каже «гоп». Якщо число не ділиться на жодне із чисел 2, 5 або 10, то учасник гри мовчить. Той, хто помилився, вибуває з гри.

30. Які з чисел 9, 12, 42, 97, 156, 789, 1246 є парними; непарними?

31. Чи правильне твердження:

а) якщо число ділиться на 10, то воно ділиться і на 2, і на 5;

б) якщо число ділиться на 5, то воно ділиться на 10;

в) якщо число ділиться на 2 і на 5, то воно ділиться на 10?

Рівень А

32. Запишіть по два тризначні числа, які:

а) діляться на 2; б) діляться на 5; в) діляться на 10;

г) діляться на 2, але не діляться на 5;

д) діляться на 5, але не діляться на 10;

е) діляться і на 2, і на 5.

Із чисел 34, 150, 727, 864, 8800, 1000, 3205, 23 158, 753 435 випишіть ті, які діляться на 2; на 5; на 10.

34. Допишіть праворуч до числа 28 таку цифру, щоб утворене число ділилося на 2; на 5; на 10.

Замість зірочки запишіть таку цифру, щоб число 127 було парним; непарним; ділилося на 5; на 10.

36. Чи ділиться добуток 518 375  436 833  385 144 на 2; на 5; на 10?

Чи ділиться сума 2126 + 3578 + 731 на 2; на 5; на 10?

38. Використовуючи цифри 0, 1, 4, 5, 7, запишіть шість чотирицифрових чисел, кожне з яких не містить однакових цифр і два з яких діляться на 2, два — на 5, два — на 10.

Використовуючи цифри 0, 2, 6, 9, запишіть три чотирицифрових числа, кожне з яких не містить однакових цифр і перше з яких ділиться на 2, друге — на 5, третє — на 10.

Рівень Б

40. Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найменше натуральне число, яке ділиться на 2; на 5; на 10.

Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найбільше натуральне число, яке: а) ділиться на 2, але не ділиться на 10; б) ділиться на 5, але не ділиться на 2.

42. Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 10.

Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 11.

44. Випишіть усі натуральні числа, розміщені між числами 179 і 205, які діляться на 2, але не діляться на 5.

45. Дано ряд чисел 1, 2, 3, ... , 99, 100. Скільки серед них є парних і скільки непарних? Скільки чисел ділиться на 5 і скільки на 10?

46*. Із записаних в ряд чисел від 1 до 193 Наталя викреслила всі числа, що діляться на 2, але не діляться на 5, а Марійка — всі числа, що діляться на 5, але не діляться на 2. Скільки чисел залишилося?

Сергій купив п’ять однакових зошитів. Продавець сказав, що Сергій повинен заплатити 3 грн. 48 к. Чи не помилився продавець?

48. Поділивши деяке число на 5, в остачі одержали 4. Якою цифрою може закінчуватися це число?

49*. Які з чисел 148, 275, 400, 12 296, 43 150, 85 225, 90 000 діляться на 4; на 25?