26. Відсоткові розрахунки

Ми розв’язували задачі на відсотки зведенням їх до основних задач на дроби. Ці задачі можна розв’язувати і за допомогою пропорцій. Розглянемо такий спосіб розв’язування задач на відсотки.

Нехай у школі є 50 шестикласників. Тоді:

10% шестикласників  це 50 · 0,1 = 5 (учнів);

20% шестикласників  це 50 · 0,2 = 10 (учнів);

40% шестикласників  це 50 · 0,4 = 20 (учнів).

Яка існує залежність між числом відсотків і кількістю учнів, що відповідає цим відсоткам?

У скільки разів збільшується число відсотків, у стільки ж разів збільшується кількість учнів, що відповідає цим відсоткам.

Отже, число відсотків деякої величини прямо пропорційне значенню величини, що відповідає цим відсоткам.

Пам’ятаємо, що 100% деякої величини  це сама величина.

Задача 1. Зі свіжих слив виходить 21% сушених. Скільки сушених слив можна отримати з 80 кг свіжих?

 Нехай з 80 кг свіжих слив можна отримати х кг сушених. Свіжі сливи становлять 100%, а сушені — 21%. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

80 кг  100%;

х кг  21%.

Яка залежність між масою слив та числом відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив?

Маса слив прямо пропорційна кількості відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив, тому:

  х = 16,8 (кг)  шукана маса сушених слив.

Відповідь. 16,8 кг. 

Задача 2. Банк дав підприємцеві кредит 10 000 грн. зі ставкою 7% річних. Яку суму повинен повернути підприємець банкові через півроку?

 Якщо відсоткова ставка за рік становить 7%, то за півроку буде нараховано 7% · 0,5 = 3,5% від початкової суми, тобто 10000 · 0,035 = 350 (грн.). Підприємець повинен повернути банку 10 000 + 350 = 10 350 (грн.).

Відповідь. 10 350 грн. 

Задача 3. Фермер минулого року зібрав у середньому по 30 ц зернових з 1 га, а в цьому році  по 32 ц. На скільки відсотків зросла урожайність зернових у цьому році порівняно з минулим роком?

 Спочатку знайдемо, на скільки центнерів більше зернових зібрав фермер у цьому році: 32  30 = 2 (ц). Тепер обчислимо, скільки відсотків становить знайдена різниця від урожаю минулого року. Оскільки порівнюємо з урожайністю минулого року, то 30 ц становить 100%, а 2 ц — x%.

30 ц — 100%;

2 ц —   x%. 

Отже, урожайність зросла на .

Відповідь.  . 

Щоб дізнатися, на скільки відсотків збільшилась або зменшилась дана величина, потрібно знайти:

1) на скільки одиниць збільшилась або зменшилась дана величина;

2) скільки відсотків становить одержана різниця від початкового значення величини.

Прочитайте

Задача 1. У процесі перегонки нафти з неї отримують 30% гасу. Скільки потрібно нафти, щоб одержати 9 т гасу?

 Маса нафти становить 100%, а маса гасу — 30%. Нехай щоб одержати 9 т гасу, потрібно переробити x т нафти. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

x т  100%;

9 т  30%. 

Складаємо пропорцію: звідки — маса нафти.

Відповідь. 30 т. 

Задача 2. Скільки відсотків становить число 24 від числа 30?

 Оскільки порівнюємо число 24 із числом 30, то число 30 становить 100%. Нехай число 24 становить x% від числа 30. Матимемо:

30 — 100%;

24  — x%.    

— становить число 24 від числа 30.

Відповідь. 80%. 

Задача 3. Ціну на товар, що коштував 200 грн., знизили на 10%. На скільки відсотків потрібно підняти нову ціну, щоб отримати початкову?

 Початкова ціна (200 грн.) становить 100%, а знижена ціна становить 100% – 10% = 90% від початкової. Нехай ціна після зниження дорівнює x грн. Тоді:

200 грн. — 100%; 

x грн.  — 90%.

Щоб знайти, на скільки відсотків потрібно підняти нову ціну, щоб отримати початкову, порівняємо з новою ціною (180 грн.) стару ціну. Нова ціна становить 100%, нехай початкова ціна (200 грн.) становить x% від нової. Тоді:

180 грн. — 100%;

200 грн.  — x%.    

Отже, нову ціну слід підняти на

Відповідь.   

Рівень А

737. Два трактори зорали поле площею 56 га, до того ж, перший трактор зорав 45% площі поля. Скільки гектарів зорав перший трактор?

Трактор зорав 26 га, що становить 52% площі поля. Знайдіть площу поля.

739. Два трактори зорали поле площею 40 га, до того ж, перший трактор зорав 18 га. Скільки відсотків площі поля зорав перший трактор?

Знайдіть:

740. а) 27% від числа 250; б) 72% від числа 1,25.

а) 64% від числа 7,5; б) 2,5% від числа

Знайдіть число, якщо:

742. а) 35% його дорівнює 0,7; б) 5% його дорівнює

а) 48% його дорівнює 16,8; б) 15% його дорівнює

744. Цукрова тростина при переробці на цукор втрачає 91% своєї початкової маси. Скільки потрібно взяти цукрової тростини, щоб одержати 1,8 т цукру?

Коли із цистерни надлили 4,5 т бензину, то у ній залишилося 85% початкової маси бензину. Скільки тонн бензину було в цистерні спочатку?

746. Автомобіль за перші 15 хв проїхав 12% шляху між двома містами. За який час автомобіль проїде 50% усього шляху?

747. За зміну робітник мав виготовити 40 деталей. Скільки відсотків плану виконав робітник, якщо за зміну він виготовив: а) 36 деталей; б) 42 деталі?

748. Бригада виготовила за день на 2 столи більше від норми, завдяки чому перевиконала план на 4%. Скільки столів мала виготовляти бригада за планом?

Робітник планував виготовити за зміну 20 деталей, однак перевиконав план на 5%. Скільки деталей виготовив робітник?

750. Вкладник вніс до банку 400 грн. під 15% річних. Яку суму грошей він матиме на рахунку через рік?

751. Вкладник вніс до банку певну суму грошей під 17% річних і через рік одержав 819 грн. Яку суму вкладник вніс до банку?

Вкладник вніс до банку 500 грн. і через рік після нарахування річних відсотків мав на рахунку на 80 грн. більше. Скільки річних відсотків нараховував банк?

753. Узимку куртка коштувала 160 грн. Навесні ціну на неї знизили на 15%. Яка ціна куртки навесні?

У зв’язку з інфляцією ціна на масло протягом півроку виросла на 6%. Початкова ціна 1 кг масла становила 9 грн. 50 к. Якою стала ціна 1 кг масла через півроку?

755. Оператор набирає на комп’ютері за шестигодинний робочий день 30 сторінок тексту. Скільки сторінок він набиратиме протягом години, якщо його продуктивність праці виросте на 20%?

756. Підприємець отримав за місяць 16 000 грн. прибутку, з яких 7000 грн. витратив на розширення виробництва. Скільки відсотків отриманого прибутку підприємець витратив на розширення виробництва?

Перший учень стрибнув у довжину на 2,4 м, а стрибок другого був на 15% довший. Чому дорівнює довжина стрибка другого учня?

758. У серпні пакет акцій фірми коштував 4000 грн., а в жовтні — 4200 грн. На скільки відсотків зросла вартість пакету акцій фірми?

759. На присадибній ділянці 50 м² засаджено полуницями, а 40 м²  помідорами. На скільки відсотків площа під полуницями більша від площі під помідорами?

760. У місті N проїзд у маршрутному таксі коштує 1 грн., а в автобусі — 80 к. На скільки відсотків вартість проїзду в маршрутному таксі більша від вартості проїзду в автобусі?

Робітник за зміну виготовив 80 деталей, а його учень  56. На скільки відсотків менше деталей виготовив учень, ніж робітник?

Довжина поля дорівнює 80 м, а ширина — 20 м. На скільки відсотків довжина поля більша від ширини? На скільки відсотків ширина поля менша від довжини?

Рівень Б

763. З 1,6 га землі, що становить 8% площі всього поля, зібрали 48 ц пшениці. Скільки центнерів пшениці зібрали з поля, якщо врожайність на усьому полі однакова?

Периметр трикутника дорівнює 36 см. Довжина першої сторони становить 25% периметра i 75% довжини другої сторони. Знайдіть довжину кожної сторони трикутника.

765. Фермер засіяв соняшником 1,8 га поля, що на 20% більше, ніж торік. Яку площу фермер засівав соняшником торік?

766. Відстань між будинками Вінні-Пуха та П’ятачка становить 2 км. Одного дня Вінні-Пух пішов провідати П’ятачка і витратив на дорогу 25 хв, а наступного дня П’ятачок пішов провідати Вінні-Пуха і витратив на дорогу 20 хв. Чия швидкість з них більша і на скільки відсотків?

Відстань між будинками Вінні-Пуха та П’ятачка дорівнює 2 км. П’ятачок за хвилину проходить 75 м, а Вінні-Пух — 50 м. Вони вирішили обмінятися подарунками і вийшли одночасно назустріч один одному. Хто з них пройде більшу відстань до зустрічі та на скільки відсотків?

Гроші у сумі 14 000 грн., зібрані на благодійному концерті, були розподілені так: 45% грошей виділили для будинку дітей-сиріт, 42,5% — для будинку пристарілих, а на решту коштів купили піаніно для музикальної школи. Скільки коштує піаніно?

769. Три робітники виготовили замовлену партію деталей. Перший i другий робітники виготовили відповідно 30% i 40% усіх деталей, а третій  на 8 деталей менше, ніж другий. Скільки всього деталей виготовили робітники?

770. Щоб урахувати інфляцію 4%, виробник холодильників підняв ціну на кожний холодильник з 1250 грн. до 1290 грн. Чи правильно він виконав розрахунки?

771. Вкладник вніс до банку 500 грн. під 14% річних, через рік річна ставка зросла до 17%. Яку суму грошей він матиме на рахунку через 2 роки?

Банк дав підприємцеві кредит 20 000 грн. на 9 місяців зі ставкою 8% річних. Яку суму підприємець повинен повернути через 9 місяців?

773. Банк дав підприємцеві кредит на певну суму грошей зі ставкою 7% річних. Підприємець повернув банкові 32 100 грн. через 12 місяців. Яку суму кредиту брав підприємець?

774. Собівартість книжки для видавництва становить 8 грн., а відпускна ціна для магазину — 10 грн. 40 к. Який прибуток у відсотках має видавництво з кожної книжки?

Собівартість книжки для видавництва становить 9 грн., відпускна ціна для магазину на 10% більша від собівартості, а націнка магазину становить 20% від відпускної ціни. Яка ціна книжки в магазині?

776. Магазин отримав книжку за 5 грн. 50 к., націнка магазину — 20%. При оптовій закупці магазин зменшує свою ціну на 5%. Скільки коштує така книжка при оптовій закупці?

777. Ціна товару дорівнює 150 грн. Знайдіть ціну товару після двох послідовних знижень, якщо перше зниження було на 10%, а друге  на 5%.

778. Ціну на товар, що коштував 150 грн., спочатку зменшили на 20%, а потім нову ціну збільшили на 20%. Знайдіть ціну товару після двох переоцінок.

Ціну на товар, що коштував 150 грн., спочатку збільшили на 20%, а потім нову ціну зменшили на 20%. Знайдіть ціну товару після двох переоцінок.

780. Ціну на товар, що коштував 100 грн., зменшили на 20%. На скільки відсотків потрібно підняти нову ціну, щоб отримати початкову?

781. Сплав міді з оловом масою 12 кг містить 45% міді. Скільки кілограмів чистого олова потрібно додати до сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 40% міді?

У воді розчинили 180 г солі й одержали 12%-ий розчин солі. Скільки грамів води використали для приготування розчину?

783*. Ціну на товар знизили на 10%. На скільки відсотків потрібно підвищити нову ціну, щоб отримати початкову?

784*. Є два числа. Перше число на 20% більше від другого. У скільки разів перше число більше від другого? Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 11.

Здогадайтеся

785. На купівлю порції морозива Сергієві не вистачає 46 к., а Андрію — 5 к. Коли вони разом склали свої гроші, то їх усе ж не вистачило на морозиво — бракувало 1 копійки. Скільки коштує порція морозива?

Вправи для повторення

786. Знайдіть значення виразу:

а) 0,5  1,6 + 14,911 : 3,7; б) 1,3  (313,2 : 8,7  5,3);

в) 9,396 : 2,7  5,6  0,2; г) 12,5·2,5 – 8,6·2,5 + 2,1·2,5;  

д) 0,4² +   : 0,0128; е) 2,5²  1,5² + 

Розв’яжіть рівняння:

787. а) 3,6х  4,5 = 15,3; б) 0,4(х + 1,6) = 3,24; в)

788. а)  =  ; б)  =  ; в)  = 

789. У скільки разів потрібно збільшити число , щоб отримати число 7?

790. Знайдіть відношення:

а) 17 до 2; б) 10 до 3; в) 5 до 30.