23. Пропорція

Знайдіть відношення чисел: 36 до 9; 24 до 6. Порівняйте ці відношення.

36 : 9 = 4;        24 : 6 = 4.

Ці відношення рівні, а тому можна записати:

36 : 9 = 24 : 6, або

Рівність двох відношень називають пропорцією.

За допомогою букв пропорцію можна записати так:

а : b = c : d, або

Ці записи читають:

«відношення а до b дорівнює відношенню c до d»,

«а, поділене на b, дорівнює c, поділеному на d»,

«а відноситься до b, як c відноситься до d».

У пропорції а : b = c : d числа а і d називають крайніми членами пропорції, а числа b і c  середніми членами.

Надалі вважатимемо, що всі члени пропорції відмінні від нуля.

Пропорція 36 : 9 = 24 : 6 правильна, оскільки значенням її лівої й правої частин є одне й те саме число 4.

Знайдіть добутки крайніх і середніх членів цієї пропорції. Порівняйте їх.

36  6 = 216;  9  24 = 216.

У правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Цю властивість називають основною властивістю пропорції.

Отже, якщо пропорція a : b = c : d правильна, то ad = bc.

Правильно і навпаки: якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів, то ця пропорція правильна.

Для правильної пропорції з рівності ad = bc можна знайти будь-який член пропорції за правилом знаходження невідомого множника. Наприклад:

де a і d — крайні члени пропорції, bc — добуток середніх членів пропорції. Маємо правило:

Щоб знайти крайній член пропорції, потрібно добуток її середніх членів поділити на інший крайній член.

Аналогічно

Щоб знайти середній член пропорції, потрібно добуток її крайніх членів поділити на інший середній член.

Для тих, хто хоче знати більше

З основної властивості пропорції випливає, що коли в правильній пропорції поміняти місцями середні члени або крайні члени, то отримаємо нові правильні пропорції. Так, якщо пропорція правильна, то аd = bc. Тоді правильними будуть пропорції:

(поміняли місцями середні члени),

(поміняли місцями крайні члени),

(поміняли місцями крайні та середні члени),

бо в кожній з них добуток аd крайніх членів дорівнює добутку bc середніх членів.

Якщо — правильна пропорція, то правильними будуть і пропорції

Прочитайте

1. Знайти невідомий член пропорції 1,2 : х = 3 : 7.

 За правилом знаходження середнього члена пропорції матимемо: х = 2,8. 

2. Розв’язати рівняння: а)  ; б)  .

 а) 

   б)   

Усно

663. Прочитайте пропорції. Чи правильні ці пропорції?

5 : 2 = 10 : 4; 8 : 2 = 24 : 6;  =   = 

664. Назвіть крайні та середні члени пропорції:

а) 1 : 2 = 5 : 10; б) 21 : 3 = 14 : 2; в) 

Які рівності випливають із цих пропорцій, виходячи з основної властивості пропорції?

665. Знайдіть невідомий член пропорції:

а) x : 5 = 8 : 4; б) 27 : x = 9 : 2; в) 

Рівень А

666. Запишіть пропорцію, в якій кожне відношення дорівнює:

а) 2; б)  .

667. Складіть, якщо це можливо, пропорцію із 4 даних чисел:

а) 2; 6; 15; 5; б) 18; 4; 24; 3.

Чи правильна пропорція:

668. а) 24 : 30 = 28 : 35; б) 2,5 : 2 = 40 : 32;

в) 2,1 : 0,7 = 1,5 : 0,5; г) ?

а) 9 : 27 = 3 : 12; б) 3,5 : 0,5 = 21 : 3; в) 35 : 1,05 = 2 : 0,06; г) ?

Знайдіть невідомий член пропорції:

670. а) х : 2 = 3 : 11; б) 0,5 : х = 15 : 2,4; в)

а) 75 : 30 = х : 3; б) 1,5 : 0,3 = 9 : х; в)

Розв’яжіть рівняння:

672. а)  б)  в) 7 : 3x = 2 : 9;

г) 4 : (x – 3) = 2 : 3; д)  е) 

а)  б)  в) (x – 5) : 9 = 7 : 3.

674. Виберіть з даних відношень два, з яких можна скласти правильну пропорцію:

а) 5 : 20; б)  в) 4,2 : 21; г) 2,5 : 10.

Рівень Б

Знайдіть невідомий член пропорції: а)  б)  в)

Розв’яжіть рівняння:

676. а)  б)  ; в)  г) 

а)  б)

678. Знайдіть такі значення x та y, щоб кожна з рівностей і була правильною.

679. Переставивши крайні або середні члени заданої пропорції, складіть три нові правильні пропорції:

а) 6 : 4 = 15 : 10; б) 3 : 1,2 = 2,5 : 1; в)

680. Пропорція правильна. Переставивши її крайні або середні члени, складіть три нові правильні пропорції.

Здогадайтеся

681. Для перевезення зерна заготували мішки двох видів, в одні вміщується по 60 кг зерна, а в інші — по 80 кг. Скільки потрібно мішків кожного виду, щоб перевезти 1 т зерна, якщо всі мішки повинні бути заповнені повністю?

Цікаві розповіді Пропорція і музика

Слово «пропорція» (від латинського proportio) означає «співрозмірність», «певне відношення частин між собою».

За допомогою пропорцій розв’язували задачі ще в стародавні часи. Повну теорію пропорцій було створено у Стародавній Греції в IV ст. до н. е. здебільшого в працях учених Евдокса Кнідського та Теетета.

Теорію пропорцій досконало висвітлено у «Началах» Евкліда, зокрема, там є доведення й основної властивості пропорції.

Стародавні греки називали вчення про відношення і пропорції музикою, яку вважали галуззю математики. Вони знали, що слабше натягнута струна дає нижчий («товстіший») звук, а тугіше натягнута струна — вищий звук. Але в кожному струнному музичному інструменті є не одна, а кілька струн. Щоб усі струни під час гри звучали «узгоджено», приємно для слуху людини, їхні довжини (а за однакових довжин — товщини) повинні перебувати у певному відношенні. Тому вчення про відношення і пропорції стародавні греки називали музикою.

Пропорційність використовувалася і використовується сьогодні в мистецтві, архітектурі. Використання пропорційності в архітектурі, живописі, скульптурі означає дотримання певних співвідношень між окремими частинами споруди, картини, скульптури тощо.

Сучасний запис пропорції (a : b = c : d) увів на початку XVIII ст. німецький математик Г. Лейбніц.

Вправи для повторення

682. Площа квадрата дорівнює 25 см². Чому дорівнює площа квадрата, сторона якого удвічі більша від сторони даного квадрата?

683. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю 70 км/год, подолав шлях між двома містами за 3 год. За який час подолає цей шлях мотоцикліст, який рухається зі швидкістю 40 км/год?

684. Тарас робить 3 кроки за 5 с, а Сергій  5 кроків такої ж довжини за 8 с. Хто із хлопців ходить швидше?

685. Перший робітник за 8 хв виготовив 3 деталі, а другий за 10 хв  4 такі ж деталі. У котрого з робітників продуктивність праці вища?

686. Маса 4 однакових деталей дорівнює 21,6 кг. Яка маса 15 таких же деталей?