1.3. Теория подобия. Подобные преобразования

Анализ процессов и расчет аппаратов химической технологии, как и аппаратов защиты окружающей среды всегда основывается на изучении кинетических закономерностей этих процессов. При этом оказывается, что исследование самых различных процессов: гидромеханических, тепло и массообменных, а так же химических процессов имеет много общего, так как во всех случаях среда рассматривается, как непрерывная и для изучения этих процессов применяется хорошо разработанный аппарат математической физики.

Одним из основных понятий математической физики является поле. Полем некоторой физической величины называется совокупность ее мгновенных значений на всем протяжении пространства охваченного процессом. Аналитически поле задается в виде функции координат и времени. Например, выражение для температурного поля записывается в следующим образом.

, (7)

где x,y,z – пространственные координаты точки, а – время.

При этом рассматривается, что бесконечно малым перемещениям соответствует бесконечно малое изменение соответствующей величины. Это означает, что полный дифференциал этой величины всегда имеет смысл , т.е. частные производные в этом соотношении всегда конечны.

После остающееся неизмененным во времени называется стационарным. В этих условиях – стационарный процесс. Поле является общей характеристикой процесса. Если оно известно, то не составляет труда получить все остальные частные характеристики. Если, например, рассчитано температурное поле в движущейся жидкости, то можно легко вычислить значение тепловых потоков. Поэтому в основу математической теории процессов переноса, как правило закладываются уравнения полей соответствующих физических величин. Вывод уравнения процесса можно осуществить если имеется конкретное представление о его физическом механизме, о движущих силах его развития. Эти преставления формируются по мере накопления опытных данных. На их основе создается модель явления отражающая его существенные черты и являющаяся схематизацией реального процесса.

После этого к исследованию привлекаются фундаментальные законы физики и химии или дополнительные гипотезы. Чаще всего это процесс протекающий в бесконечно малый промежуток времени. Величины dx, dy, dz, dt – бесконечно малые в математическом смысле. Физически они велики, потому что среда должна быть бесконечной непрерывной. Например, для тепло-массообменных процессов линейный размер бесконечно малой величины должен быть гораздо большим, по сравнению с длиной пробега молекулы, а промежуток времени большим по сравнению со временем пробега молекулы. Обычно изучаемое явление необходимо рассматривать с различных сторон, привлекая для этого несколько физических законов и строя подобным образом систему уравнений. Например, температурное поле в движущейся жидкости описывается системой уравнений, включающей динамические уравнения движения, уравнения сплошности среды и собственно уравнения температурного поля. Полученная система уравнений – это дифференциальные, интегральные и интегро-диференциальные уравнения. Информация, которой должны быть дополнены основные уравнения представляют собой условия единственности решения и кроме того необходимо ввести граничные и начальные условия, которые называют краевыми условиями, т.е. условия на пространственно-временных краях системы. Чаще всего задаются граничные условия первого и второго рода (наборы значений исходной переменной и ее производной на границах системы в любой момент времени). В качестве граничных условий могут быть заданы параметры окружающей среды и закон взаимодействия между системой и внешней средой (граничные условия третьего рода).

В качестве примера рассмотрим уравнение температурного поля в неподвижной среде

(8)

- оператор Лапласа, - декартовы координаты, - время, а - коэффициент температурной проводимости, объединяющий три константы , - теплопроводимость, - теплоемкость, - плотность

Будем считать, что в условиях единственности содержатся хотя бы по одному значению протяженности l₀ и времени t₀ – периодический процесс. Тогда безразмерные координаты и время могут быть представлены в относительной форме

(9)

Так как уравнение (8) – это уравнение температурного поля, то вместо абсолютной температуры можно ввести ее разностное значение значение , отсчитываемое от некоторого уровня T_ср. Предположим, что помимо T_ср задано еще одно значение T₀ – начальная температура.

(10)

Поставим (9), (10) в (8) и (7) – будем иметь

(11)

(12)

Безразмерные комплексы, составленные из величин, существенных для данного процесса называются числами подобия. Число подобия содержащее только заданные по условия задачи параметры называются критериями подобия, например, комплекс входящей в уравнение (12) называется критерием Фурье

В задачах теории подобия в химической технологии, часто используются уравнения вида

, (13)

где D­­₁,D₂…, - некоторые дифференциальные операторы, каждый из которых определяет интенсивность какого-либо процесса. Относительная интенсивность соответствующих эффектов характеризуется отношением типа D₀/D_{к ,} где D_к – некий средний уровень, а отношение D₀/D_к – относительная интенсивность. Общее число таких уравнений здесь равно (s-1) не сводимых друг к другу, и которые могут быть получены из (13) , где D_1, D₁ … D_s, - некоторые дифференциальные операторы, каждый из которых определяет интенсивность какого-либо процесса. Подобным образом как было исследовано уравнение (8) уравнение (13) может быть представлено

, (14)

где П_ik – безразмерные степенные комплексы; П_i, П_k – размерные степенные комплексы; d_ik – множители которые зависят только от законов распределения безразмерных переменных. Комплексы П_ik – характеризуют общие свойства, обусловленные механизмом процесса. Конкретные частные особенности процесса отражаются в множителях d_ik.

Критерии подобия могут рассматриваться, как особого рода приближения (средняя мера) отношения интенсивности соответствующих физических эффектов. Такая концепция является непосредственным следствием рассмотрения величин типа D_i/D_k , как такой меры отношения интенсивности в данный момент. Но при замещении относительных операторов комплексами точная мера становится приближенной и в значительной мере условной. Ее следует рассматривать, как основу количественных оценок только в том смысле, что одинаковым значениям критерия соответствуют одинаковые знацения относительной интенсивности рассматриваемых эффектов. Числа подобия являются более общим понятием, чем критерий. Большинство комплексов названы числами подобия, т.к. они могут встречаться и как критерии подобия и как безразмерные переменные (табл.1).

Таблица1. Безразмерные комплексы химической технологии.

Наименование	Обозначение	Сопоставляемые эффекты	Примечание
1	2	3	4
1) Число Рейнольдса		Силы инерции и трения (или перенос количества движения конвекции и внутренним трением )	w – скорость, l – длина, - кинематическая вязкость
2) Число Фруда		Силы инерции и гравитации	g-ускорение свободного падения
3) Число Эйлера		Сила давления и инерция	- перепад давлений, - плотность
4) Число Струхала		Конвективные и локальные изменения величины	- время
5) Число Лагранжа		Силы давления и трения	- динамическая вязкость
6) Число Архимеда		Подъемные силы и сила трения	- разность плотностей
7) Число Рэлея		Термическая подъемная сила и сила трения при полученном режиме течения	- коэффициент температуропрводности
1	2	3	4
8) Число Кирхгофа		Термическая подъемная сила и сила трения течения	- коэффициент объемного расширения T - температура
9) Число Мах		Скорость движения и распространение возмущений	а – скорость света
10) Число Нуссельда		Перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью через подвижный слой жидкости	- коэффициент теплоотдачи - теплопроводность жидкости
11) Число Шервуда		Перенос массы конвекцией и дифузией	- коэффициент массоотдачи
12) Число Пекле		Перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью
13) Число Стептопа		Радиальный и оксиальный тепловой поток	-изобарная теплоемкость
14) Критерий Био		Внутреннее и внешнее сопротивления	- теплопроводность, - определяющий размер
1	2	3	4
15) Число Фурье		Изменение температуры в окружающей среде или внутри тела	- коэффициент теплоотдачи
16) Критерий Прандля		Перенос количества движения и массы по средством молекулярного механизма
17)Критерий Штита		Перенос количества движения и массы по средствам молекулярного механизма	D- коэффициент диффузии
18) Число Какутеладзе		Теплота фазового перехода и нагрева жидкости	r – теплота парообразования
19) Число Бонда		Гравитационная подъемная сила и сила поверхностного натяжения	- коэффициент поверхностного натяжения
20) Число Вебера		Сила инерции поверхностного натяжения
21)Критерий гомохронности		Неустановившийся характер движения жидкости или газа
1	2	3	4
22) Критерий Ньютона		Сила действующая на частицу и сила инерции	m-масса частицы f-сила действующая на частицу
23) Критерий Лященко		Эффекты осаждения и вязкого течения жидкости	-разность плотностей