Наименование темы: Стационарные вероятности рк для смо типа м/м/1.

На рис. 1 приведен график вероятностей того, что в очереди находится k заявок в установившемся режиме.

Рис. 1 Стационарные вероятности р_к для СМО типа М/М/1.

Важной характеристикой системы является средняя длина очереди. Зная вероятности каждого из возможных значений длины, найдем математическое ожидание:

.

График средней длины очереди заявок в системе в зависимости от значения коэффициента использования или нагрузки показан на рис. 2.

Найдем теперь дисперсию длины очереди: .

Рисунок 2 Среднее число требований Рисунок 3 Среднее время пребывания

в системе типа М/М/1 требования в системе типа М/М/1 как функция ⍴

Для нахождения среднего значения времени пребывания в очереди воспользуемся формулой Литтла.

.

На рис. 3 приведен график зависимости среднего времени пребывания в очереди в зависимости от коэффициента использования (нагрузки).

При увеличении коэффициента использования, длина очереди, так и время пребывания в ней неограниченно возрастают при приближении ρ к единице. Такой вид зависимости от коэффициента использования характерен для почти всех СМО.

Наконец найдем вероятность того, что в очереди будет находиться не менее чем k заявок и того, что в очереди менее k заявок.

Итак, в ходе анализа простейшей системы М/М/1 удалось в аналитическом виде найти все практически интересные характеристики Q_oS системы.

Срс 4 по дисциплине “Теория распределение информации» Наименование темы: Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n

Р ассмотрим СМО, для которой фиксировано максимальное число ожидающих заявок. Предположим, что в системе может находиться N заявок, включая находящуюся на обслуживании в сервере. Любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему. В телефонии такие вызовы называют потерянными. Поступающие заявки образуют Пуассоновский поток, а обслуживание осуществляется одним сервером с показательным законом распределения времени обработки. Приспособим для описания такой системы модель процесса гибели-размножения.

Эта система эргодична и диаграмма интенсивностей переходов может быть изображена так как на рис. 1.

Рис. 1 Диаграмма интенсивностей переходов системы типа М/М/1:N.

Найдем распределение вероятностей в стационарном режиме непосредственно из общей формулы

Найдем теперь начальную вероятность, следуя общей формуле:

Таким образом, окончательная формула для стационарных вероятностей будет:

Проанализируем характеристики качества обслуживания (QoS) для такой системы. Важнейшей характеристикой будет являться вероятность блокировки – потери заявки. Очевидно, что это произойдет с вероятностью переполнения буфера, поэтому для расчета вероятности блокировки можно использовать формулу: .

Например, для системы с коэффициентом использования 0.5 при размере буфера N=18 вероятность блокировки будет больше 10^-6, а при размере N=19, меньше этого значения. Следовательно, для получения вероятности блокировки такой величины необходимо предусмотреть размер буфера не менее 19.

Средняя длина очереди в буфере может быть найдена как:

.

Соответственно задержка может быть найдена на основе формулы Литтла

.

Определим пропускную способность системы как число заявок, обслуживаемых системой в одну секунду. Очевидно, что при вероятности блокировки P_B пропускная способность может быть найдена как чистая интенсивность поступлений, то есть:

.

С точки зрения выхода системы пропускная способность может быть определена иначе. Если система всегда была бы непуста, то ее производительность равнялась бы величине обратной среднему времени обслуживания, то есть μ. Однако, поскольку часть времени система может простаивать, вероятность того, что в ней нет ни одной заявки отлична от нуля, реальная производительность может быть выражена как:

.

Подставив выражения для вероятности простоя сервера для системы с бесконечным размером буфера, получим:

.

Для системы с конечным буфером получаем:

.

В качестве реального примера рассмотрим концентратор сети с коммутацией пакетов, который обрабатывает пакеты со средней длиной 1200 бит. При скорости передачи в канале 2400 бит/с средняя пропускная способность его составит μ=2 пакета/с. Если полный входной поток имеет интенсивность λ =1 пакет/с, то ρ =0.5 и можно рассчитать, что при размере буфера N =9 пакетов в среднем по 1200 бит, вероятность блокировки составит 0.001. Для того, чтобы получить вероятность блокировки 0.000 001 нужно предусмотреть буфер длиной не менее 19 пакетов по 1200 бит, т.е. около 2850 байт.