4. Погрешности арифметических действий.

   1. Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых даны. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.

,

Решение.

Найдем сумму данных чисел х + у = 7,12 + 8,27 = 15,39.

Для определения количества верных цифр найдем абсолютную погреш­ность суммы , Данное число показывает, что в чис­ле 15,39 верными будут цифры до разряда десятых, т. е. цифры 1, 5 и 3. И т. к. мы отбрасываем число 9, большее пяти, то результат сложения бу­дет 15,4.

По относительной погрешности можно получить более строгую оценку количества верных цифр:

и .

Тогда:

То есть в числе 15,39 цифры 1, 5 верны в строгом смысле.

Ответ: 15.

2. Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.

х = 13,876, у = 11,82.

Решение.

Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные по­грешности не превосходят единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. Поэтому , .

Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:

_;

Найдем разность чисел х-у-13,876-11,82 = 2,056.

Найдем абсолютную погрешность полученной разности. Она будет равна:

.

То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.

Найдем относительную погрешность разности. Она будет равна:

Действительно, две первые цифры верны в числе 2,056.

Ответ: 2,06.

5. Погрешности элементарных функций.

   1. Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) соs(0,47);

б) ; в) ;

г) у = 1n (68,214).

Решение.

а) находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

;

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 0,892.

б) находим значение величины у . Оно будет равно 0,0450492.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.

Ответ: 0,04.

в) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,6378875.

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

;

Это означает, что в числе 4,6378875 три цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,6378.

г) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,2226498

Абсолютная погрешность аргумента . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

.

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

2. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютних погрешностей после каждой операции:

, если а=12,34, b=14,3.

Решение.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.

Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения

а	b				ln(a)	b+ln(a)	A
12,34	14,3	3,513	3,78	7,30	2,5129	16,81	0,434
0,005	0,05	0,00071	0,0066	0,0073	0,0004	0,05041	0,0017

Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верными в строгом смысле, значит, , .

Найдем . Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. выше):

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.

.

Это число внесем в таблицу.

Найдем абсолютную погрешность = 3,781534.

Она будет равна

Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.

Аналогично, находим значения всех остальных действии и функции:

Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.

Ответ: А = 0,434 ±0,002.

6. Способ границ. Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов.

   1. Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d=(3± 0,001) см и высотой h=(10±0,002) см весит р=(95,5±0,001) г. Определить удельный вес у алюминия и оценить предельную абсолютную погреш­ность найденного удельного веса.

Решение.