2.1.2. Математическая запись модели поведения фирмы.

Заданы цены p  Rⁿ ₊продукции и цены q  R^m₊ ресурсов ищется способ производства (y,x) такой, что:

Другая запись модели предполагает, что известна обобщенная производственная функция.

Заданы цены p  Rⁿ ₊ продукции и цены q  R^m₊ ресурсов ищется способ производства (y,x) такой, что:

Задача (3) – (4) представляет собой задачу отыскания условного максимума функции. Выпишем необходимые условия того, что пара векторов (y,x) является решением этой задачи. Для этого запишем функцию Лагранжа задачи:

Приравняв к нулю частные производные от функции Лагранжа, получим необходимое условие, решения задачи (3) – (4).

С истема уравнений (5) - (7) содержит m+n+1 уравнение и m+n+1 неизвестных переменных (n – переменных определяют объемы продаж продукции каждого наименования; m - переменных определяют объемы закупок ресурсов и последняя переменная определяет значение множителя Лагранжа.). При определенных предположениях относительно свойств производственной функции система (5) – (7) имеет решение для любого набора цен продуктов p и ресурсов q.

В этом случае, система уравнений (5) - (7) определяет функции индивидуального предложения продуктов

y_k= y_k (p₁,p₂,…p_n; q₁,q₂,…q_m) k=1,2,…,n.

И функции индивидуального спроса фирмы на ресурсы:

x_i= x_i (p₁,p₂,…p_n;q₁,q₂,…q_m) i=1,2,…,m.

Функции индивидуального предложения продукции и спроса фирмы представляют собой зависимость объемов продаж фирмы и объемов закупок ресурсов каждого наименования от цен.

Эти функции зависят от экзогенно заданных параметров характеризующих производственные возможности фирмы и определяющих конкретное выражение для производственной функции фирмы.

Анализ зависимости от цен функций предложения продуктов и спроса на ресурсы фирмы показывает, что эти функции не зависят от масштаба измерения величины доходов и цен. Что означает, что соответствующие функции, являются однородными нулевой степени.

Действительно, изменение масштаба измерения стоимостных показателей в математическом отношении сводится к умножению всех цен на продукты и ресурсы одно и тоже число. При этом, численное значение критерия оптимальности (прибыли) в модели поведения фирмы также должно быть умножено на тоже число. Очевидно, что решение задачи (1) – (2) или (3)- (4) не зависит (инвариантно) от численного значения множителя определяющего масштаб измерения цен.

Замечание.

Функция g(x₁,x₂,…x_n) – называется однородной степени k , если для любого числа λ выполняется условие:

2.2. Модель поведения потребителя.

Предпосылки модели.

2.2.1. Система предпочтения потребителя и функция полезности.

1. В модели предполагается, что для каждого потребителя задано, известно множество Z  R^n+m возможных наборов товаров (продуктов и ресурсов), которые может купить или продать потребитель на рынке.

Здесь:

N – количество продуктов, производимых субъектами производственного сектора экономики;

m- количество наименований ресурсов производства принадлежащих потребителям.

Каждый такой набор описывается вектором z =(y,x), который включает пару векторов у и x. При этом координаты вектора у  Rⁿ определяют объемы закупок потребителем продуктов предприятий товаропроизводителей, а координаты вектора x  R^m определяют объемы продаж потребителем предприятиям ресурсов производства имеющихся у потребителя.

2. Предполагается, что на множестве Z возможных наборов товаров потребителя задана система предпочтений, которая позволяет потребителю осуществить выбор конкретного набора товаров.

При описании модели поведения потребителя в соответствии с ординалистским подходом предполагается, что система предпочтений потребителя задается бинарным отношением.

Замечание.

Под бинарным отношением в математике понимают множество

G  Z x Z содержащееся в множестве всех возможных пар векторов каждый из которых принадлежит множеству Z.

Такое отношение позволяет для каждой пары наборов товаров потребителя

z¹  Z и z²  Z определить какой из них предпочтительней для потребителя.

В дальнейшем, мы будем говорить, что набор z¹ не хуже набора z^2, если пара (z¹;z²)  G и записывать это условие: z¹ ﺣ z²

Если, при этом z¹  z² и нельзя сказать, что z² ﺣ z¹ (набор z² не хуже z¹), тогда будем говорить, что набор z¹ лучше z² и записывать в виде z¹  z²

Предполагается, что система предпочтений потребителя обладает, следующими свойствами:

1. Полнота:

Для любых z¹ , z²  Z выполняется одно из двух условий:

либо z¹ ﺣ z^2, либо z² ﺣ z¹

б) Рефлексивность:

z ﺣ z для любого z  Z

в) Транзитивность:

Для любых z¹ , z² , z³ Z .

Если z¹ ﺣ z² и z² ﺣ z³ то z³ ﺣ z¹

Г) Выпуклость.

Для любых z¹ , z²  Z , таких, что: z¹ ﺣ z² и для всех чисел 1    0:

 z¹ + (1 -  ) z² ﺣ z²

То есть смесь двух наборов товаров предпочтительней худшего из них.

Требование выпуклости г) обеспечивает выпуклость множества наборов товаров не хуже данного набора.

Д) Ненасыщаемость.

Если z¹ = (y¹,x¹)  Z и z² = (y²,x²)  Z и для всех координат векторов продуктов y¹, y¹ и наборов ресурсов выполняются неравенства:

x¹_k  x²_k k=1,2,…,n; y¹_k  y²_k k=1,2,…,m;

Определение 1.

Отношение предпочтения будем называть непрерывным на множестве Z, если множество всех пар (z¹,z²) таких, что: z¹ > z² (z¹ лучше z²) является открытым подмножеством декартова произведения Z x Z.

Определение 2.

Функция u(z) определенная на множестве Z называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения ﺣ, если u (z¹⁾  u (z²) тогда и только тогда, когда z¹ ﺣ z².

Теорема (Дебре). Пусть множество Z связно, отношение предпочтения непрерывно и удовлетворяет, аксиомам а) – д), тогда для такого отношения предпочтения найдется соответствующая ей функция полезности.

В дальнейшем, при математической записи модели поведения потребителя, будем считать, что его система предпочтений может быть задана соответствующей функцией полезности – u(z).

Такое предположение, в частности делается в курсах макроэкономики.

2.2.2. Бюджетное ограничение модели поведения потребителя.

Будем считать, что каждый из потребителей в рассматриваемом периоде располагает некоторым запасов первичных ресурсов производства x и некоторыми доходами, получаемым им от участников производственного сектора экономики. Имеющиеся у потребителя ресурсы он продает по ценам заданным для него экзогенно и на полученные в результате доходы покупает необходимую для него продукцию.

Предполагается, что суммарные доходы потребителя должны быть достаточными, чтобы купить необходимую для него продукцию.

Введем необходимые обозначения.

Будем сопоставлять

каждому участнику производственного сектора экономики индекс (номер) f,

а каждому потребителю индекс (номер) h.

И пусть П_f – прибыль (чистый доход) полученная фирмой f в результате продажи продуктов и покупки ресурсов.

Предположим далее, что заданы экзогенно коэффициенты a_f,h – доля прибыли фирмы f, распределяемой потребителю с номером h.

Коэффициенты a_f,h удовлетворяют условиям:

Доход потребителя h , получаемый им от всех фирм равен:

В этом случае бюджетное ограничение потребителя можно записать в следующем виде.

2.2.3. Математическая запись модели поведения потребителя.

Заданы цены p  Rⁿ ₊продукции, цены ресурсов q  R^m и доход потребителя M_h ищется наборы продуктов и ресурсов (y,x) такие, что:

Задача (1) – (2) представляет собой задачу отыскания условного максимума функции. Выпишем необходимые условия, что пара векторов (y,x) решение этой

задачи.

Для этого запишем функцию Лагранжа задачи.

Приравняв к нулю частные производные от функции Лагранжа, получим необходимое условие, решения задачи (1) – (2).

Система уравнений (3) - (5) содержит m+n+1 уравнение и m+n+1 неизвестных переменных (n – переменных определяют объемы закупок потребителем продукции каждого наименования; m - переменных определяют объемы продаж ресурсов и последняя переменная определяет значение множителя Лагранжа). При определенных предположениях относительно свойств функции полезности система (3) – (5) имеет решение для любого набора цен (p,q).

В этом случае, система уравнений (3) – (5) определяет функции индивидуального спроса потребителя на продукцию производственного сектора экономики

y_k= y_k (p₁,p₂,…p_n; q₁,q₂,…q_m) k=1,2,…,n.

И функции индивидуального предложения потребителем производственных ресурсов:

x_i= x_i (p₁,p₂,…p_n;q₁,q₂,…q_m) i=1,2,…,m.

Функции индивидуального предложения ресурсов и спроса продукции потребителем представляют собой зависимость от цен объемов продаж ресурсов и объемов закупок продукции каждого наименования.

Эти функции зависят от экзогенно заданных параметров характеризующих систему предпочтений потребителя и объемы его доходов.

Анализ функций спроса на продукты и предложения ресурсов потребителя показывает, что эти функции не зависят от масштаба измерения величины доходов и цен. Что означает, что они являются однородными нулевой степени.

Действительно, изменение масштаба измерения стоимостных показателей в математическом отношении сводится к умножению всех цен на продукты и ресурсы и величины доходов потребителя на одно и тоже число. При этом левая и правая часть бюджетного ограничения будет умножаться на тоже число. Отсюда следует, что решение задачи (1) – (2) не зависит (инвариантно) от численного значения множителя, определяющего масштаб измерения цен и доходов потребителя. Другими словами функции индивидуального спроса и предложения потребителя являются однородными нулевой степени.

2.3. Балансовые соотношения для определения цен равновесия.

Будем обозначать функции индивидуального спроса и предложения ресурсов и продуктов фирмы верхним индексом f, а функции индивидуального предложения и спроса ресурсов и продуктов потребителя верхним индексом h.

Совокупное предложение продукции и спрос на ресурсы всех фирм можно вычислить по формулам:

А налогично, совокупный спрос на продукцию и предложение ресурсов всех потребителей можно рассчитать по формулам:

И спользуя эти обозначения, выпишем условие равенства совокупного спроса и предложения на продукты и ресурсы всех субъектов экономики.

Условия (1) – (2) представляют собой m+n равенств, которые определяют математическую запись условий равновесия на рынке всех продуктов и ресурсов. Количество этих уравнений равно количеству различных наименований продукции и ресурсов. Эти условия замыкают систему уравнений модели Вальраса и представляют собой дополнительные условия позволяющие определить значение равновесных цен.

Закон Вальраса.

Анализ функций индивидуального спроса и предложения агентов экономики показывает, что они не зависят от масштаба измерения цен и доходов. Это значит, что цены одного из товаров могут быть взяты произвольно и использованы в качестве единицы измерения. В свою очередь, это означает, что одно из уравнений системы (1) – (2) является следствием других уравнений. Покажем, что в рассматриваемой модели, действительно одно из уравнений системы (1) –(2) является следствием других.

Точнее, покажем, что для рассматриваемой модели выполняется закон Вальраса:

Сумма всех проданных товаров в денежном выражении равна сумме всех купленных товаров при любых ценах (p,q)

Д ля доказательства этого соотношения покажем, что разность между левой и правой частью выписанного выше равенства равна нулю при любых ценах (p,q).

Д ля этого, убедимся в правильности цепочки равенств, приведенной ниже.

В заключении подчеркнем основные предпосылки (предположения) и выводы, вытекающие из анализа модели общего экономического равновесия Вальраса.

Анализ модели показывает, что при определенных предположениях возможно существование экономического равновесия.

Основные предположения изложенной выше модели:

• рассмотренная модель статическая, в ней не учитывают изменения во времени технологических способов производства и механизмов распределения доходов между участниками экономики;

• предполагается выполнение условия совершенной конкуренции. Каждый из участников экономики может купить или продать продукцию и ресурсы в любом количестве, при этом цены на продукцию и ресурсы не зависят от объемов покупок и продаж каждого отдельно взятого участника экономики, а определяется условиями равенства совокупного спроса и предложения;

• вся прибыль предприятий полностью распределяется между потребителями;

• поведение потребителей и фирм определяются моделями, которые изложены выше.

Существенным необходимым условием существования равновесия является выполнение закона Вальраса. Закон Вальраса, в частности, не выполняется на краткосрочном периоде в случаях, когда моменты поступления денег от продажи товаров не совпадает с моментом поставки товаров. Такое может происходить в результате дебиторской или кредиторской задолженности. Так как выполнение закона Вальраса необходимое условие существования равновесия, то в случае нарушения этого закона постановка проблемы существования равновесия становится не корректной.

Состояние равновесия зависит от распределения доходов и ресурсов между потребителями. В этой связи, возможно достижение такого состояния равновесия, при котором часть людей имеют излишки товаров для потребления, а другая часть не имеет необходимого. Другими словами, состояние рыночного равновесия может не удовлетворять и даже противоречить принципам социальной справедливости.

Проблема рыночного равновесия с учетом динамики распределения доходов и ресурсов между потребителями и изменения во времени технологий производства в настоящее время требует своего теоретического решения.

Замечание.

Подробно изучить модель Вальраса можно на практических занятиях.

Практические занятия рекомендуется проводить в компьютерном классе с использованием системы Excel и специально подготовленного для таких занятий файла: Valras2.xls . Указанный файл содержит: пример модели, методические материалы по проведению практических занятий и программы реализующие расчеты в среде системы Excel. С использованием данного файла можно изучать, как изменяется состояние экономического равновесия модели (объемы производства и потребления и цены на продукты и ресурсы) в зависимости от изменения внешних факторов (распределения доходов, параметры производственной функции и функции полезности потребителей).