4.3. Основная задача производственного планирования. Л.В. Канторовича.

4.3.1. Постановка задачи.

Рассматривается экономическая система способная производить продукцию разными технологическими способами. Примерами таких систем могут быть предприятие, цех отдельного предприятия, отдельно взятый регион или отрасль экономики и экономика страны в целом.

Модель производственного планирования Канторовича является наиболее общей экономико-математической моделью оптимизации производства, которые используются в практических расчетах.

Необходимость анализа работ Л.В Канторовича диктуется и тем, что именно им, было положено начало современному этапу применения математических методов в экономике. Его «математические методы организации и планирования производства»¹⁰ положили начало разработке методов и моделей линейного программирования и их использования в решении конкретных планово-производственных задач.

В модели предполагается, что действующие и возможные технологические способы производства задаются (описываются) векторами:

x^s = (x^s₁,x^s₂,…,x^s_m,x^s_m+1,…,x^s_m+n)

где: x^s_i – (I=1,2,…,N = n+m) – объемы производства или затрат соответствующих ингредиентов при единичной интенсивности использования технологического способа производства с номером s.

При x^s_i > 0 имеет место производство I - ого ингредиента, если x^s_i < 0 – затраты, и при x^s_i = 0 ингредиент I не производится и не затрачивается. Наличные ресурсы труда, природные ресурсы, производственные мощности, сырьевые ресурсы и часть выпускаемой продукции, которая должна быть произведена в строго фиксированном количестве, вектором ограничений b=(b₁,b₂,…,b_m)

План организации производства определяется вектором u =(u₁,u₂,…,u_r) c неотрицательными компонентами, указывающими на интенсивность использования соответствующих способов производства.

При плане U =(u₁,u₂,…,u_r) различные ингредиенты производятся и затрачиваются в количествах:

По первым m ингредиентам вводятся ограничения:

что означает: для b_i < 0 затраты не должны превосходить имеющиеся ресурсы, для b_i > 0 – план по производству продуктов должен быть выполнен.

В качестве критерия оптимальности Л.В. Канторович предложил максимальное число ассортиментных наборов, определяемое величиной

где: k_j j=1,2,…,n; - количество ингредиента j в одном наборе.

Таким образом, основную задачу производственного планирования Л.В Канторовича можно записать в следующем виде.

Найти числа z и u_s (s = 1,2,…,r) такие, что:

.

Поясним смысл ограничений задачи.

Ограничение (1) – не отрицательность интенсивности применяемых способов производства;

Смысл ограничение (2) пояснялся выше: для b_i < 0 затраты не должны превосходить объемов имеющихся ресурсов, для b_i > 0 – объем производства продукции данного наименования должен быть не меньше заданного значения.

Ограничение (3) означает, что производство каждого из наименований продукции из заданного перечня достаточно, чтобы заполнить не менее чем z полных наборов.

Ограничение (4) выражает собой математическую запись критерия оптимальности задачи. Численное значение z определяет максимальное число ассортиментных наборов.

С формальной точки зрения задача Л.В. Канторовича представляет собой задачу линейного программирования.

План задачи, т.е. набор чисел z и u₁,u₂,…,u_{r ,} ,удовлетворяющий условиям (1) – (3) называется допустимым, а условиям (1) – (4) – оптимальным.