Тема 4.

Модели оптимального планирования экономики

4.1. Модель оптимизации отраслевой структуры экономики.

Предлагаемая макроэкономическая модель экономики является обобщением и дальнейшим развитием изученной ранее модели межотраслевого баланса (МОБ). Также как и в МОБ, в рассматриваемой модели предполагается, что в экономике выделены «n» отраслей материального производства. Каждая из них производит один вид продукции, но, в отличие от рассмотренной ранее модели, разными технологическими способами. При производстве продукции каждого вида используются продукция других отраслей и первичные ресурсы производства. Предполагается, что задана структура конечного потребления продукции отраслей. Кроме того, заданы предельно допустимые объемы потребления (использования) первичных ресурсов всеми отраслями экономики. Модель позволяет рассчитать оптимальный план распределения производства продукции и затрат первичных ресурсов по технологическим способам. В модели задан критерий оптимальности общественного производства в виде максимума конечной продукции в заданной структуре.

Введем обозначения:

Экзогенные заданные переменные модели:

a_i,j,s – затраты продукции отрасли i, необходимые для производства единицы продукции отрасли j способом производства с номером s.

r_k,j,s – количество ресурсов k- ого вида необходимых для производства единицы продукции отрасли j способом s.

Q_i – доля продукции i-ого вида в расчете на один комплект конечного потребления (или на один рубль затрат потребителей продукции) .

R_k – предельно допустимые объемы потребления (использования) первичных ресурсов k- ого вида в заданном периоде времени.

Эндогенные неизвестные переменные модели:

Z – количество комплектов конечной продукции, в заданной структуре (количество ассортиментных наборов). Величину z можно измерять в денежном выражении. В этом случае z совпадает с затратами в денежном выражении на покупку продукции для конечного потребления;

Xj,s – объемы производства продукции отрасли с номером j способом производства с номером s.

4.1.1. Математическая запись модели определения оптимальной отраслевой структуры производства.

Найти числа z и x_j,s такие, что:

П оясним смысл условий и ограничений задачи (1) – (4).

Условие (1) определяет критерий оптимальности экономики. В качестве такого критерия в задаче используется максимум ассортиментных наборов z продукции в заданной структуре используемой для конечного потребления.

Условие (2) представляет собой математическую запись баланса производства и потребления продукции каждого наименования в рассматриваемом периоде времени. В левой части ограничения (2) записывается валовое производство продукции всеми технологическими способами. В правой части записывается объемы потребления продукции. Первое слагаемое определяет производственное или промежуточное потреблению. Второе слагаемое определяет конечное потребление.

Условие (3) представляет собой математическую запись ограничения на предельно допустимые объемы использования первичных ресурсов производства.

Условия (4) – очевидны.

Модель аналогичная модели (1) – (4) была впервые предложена В.В. Новожиловым.⁵ Такая модель может быть использована для планирования или государственного регулирования экономики на уровне отдельно взятого региона, города, экономического района или страны в целом.

Она может быть использована на практике для обоснования оптимального плана выпуска продукции на территории региона, в случае, когда задана структура спроса по номенклатуре конечной продукции.

Модель (1) – (4), несомненно, отражает определенные черты реального общественного производства, тем не менее, является сильно идеализированной. Так в ней отсутствует, такое важное для производства понятие как время. Считается, что все необходимые для производства ресурсы в нужный момент времени находятся под рукой, Тем самым, в модели не учитывается динамика производства и ритмичность поставок ресурсов и продуктов. В настоящее время существуют общие динамические многоотраслевые модели общественного производства, в которых в явном виде учитывается фактор времени и динамика экономических процессов. Они также нашли свое применение в практике экономических расчетов. Наиболее известная из них модели экономической динамики Леонтьева и Неймана⁶. Однако, изучение более сложных моделей оптимизации производства с учетом фактора времени не входит в программу данного курса.

С формальной точки зрения модель (1) – (4) представляет собой задачу линейного программирования. В настоящее время существуют эффективные алгоритмы и методы решения таких задач с использованием ЭВМ. Кроме того, существующая система учета и регулирования производства опирается на данные, собираемые по отдельным отраслям экономики, что облегчает подготовку необходимой информации для проведения практических расчетов по этой модели. Поэтому такие модели после их конкретизации могут и используются для практических расчетов планов общественного производства на территории отдельных регионов.

4 .1.2. Расчет эффективности производства продукции и использования ресурсов.

Теоретической основой определения экономической эффективности использования ограниченных ресурсов являются работы известных ученых, представителей математической школы экономической науке. Основополагающими среди них являются работы лауреата Нобелевской премии Л.В. Канторовича и проф. В.В. Новожилова.

В соответствии, с развитой в работах экономистов-математиков теорией оптимального управления экономикой, расчет оптимальной программы (плана) производства представляет собой только первый этап государственного регулирования экономики. Второй, не менее важный, этап связан с реализацией программы. На этом этапе неизбежны отклонения реальных процессов от планируемых. Такие отклонения связаны с появлением новых технологий производства, с не выполнением в полном объеме различными субъектами экономики планов производства. Для управления процессами реализации планов общественного производства необходима разработка эффективной системы контроля и регулирования экономической деятельности всех субъектов экономики. Такая система подразумевает расчет и обоснование показателей характеризующих экономическую эффективность фактической деятельности субъектов экономики и фактического использования ограниченных ресурсов, принадлежащих государству и используемых субъектами экономики в процессе их экономической деятельности. В свою очередь расчет показателей характеризующих эффективность экономической деятельности (эффективность технологии производства) подразумевает предварительный расчет нормативов экономической эффективности затрат ресурсов и производства продукции. Методы оптимального планирования, основанные на использование математических моделей и, в частности, моделей математического и линейного программирования позволяют вместе с планом задачи рассчитать одновременно и соответствующие нормативы, характеризующие экономическую эффективность дополнительного выпуска продукции и затрат ресурсов.

Экономических смысл таких нормативов заключается в том, что они определяют (характеризуют) приращение оптимального значения целевой функции (функции полезности) задачи в расчете на единицу дополнительного прироста привлекаемых ресурсов.

Сама постановка проблемы формирования планов производства, без оценок эффективности затрат материальных, трудовых, природных и финансовых ресурсов на ее реализацию представляется в достаточной степени бессмысленной.

В любой экономической системе, каждый субъект экономики, так или иначе вынужден соизмерять затраты и результаты своей деятельности, искать способы эффективного использования ресурсов.

Многие экономисты считают, что проблема соизмерения затрат и результатов, проблема эффективного распределения ограниченных ресурсов необходимых для удовлетворения потребностей общества является основной проблемой экономической науки.

В условиях рыночной экономики, наличие конкуренции является мощным стимулом решения этой задачи. Эффективность использования ресурсов, в этом случае, выявляется в процессе их обмена между различными субъектами экономики. В качестве численной оценки эффективности использования данного ресурса выступает его цена, определяемая в процессе купли продажи на рынке. Использование цен является одним из способов соизмерения затрат и результатов и решения проблемы эффективного распределения ресурсов для каждого субъекта экономики. Наряду с этим возможно применение других способов, например, расчет эффективности с использованием соответствующих математических моделей.

В частности, как известно из теории, при решении задач линейного программирования, вместе с переменными исходной задачи можно найти переменные задачи двойственной исходной. Количество переменных двойственной задачи совпадает с количеством ограничений прямой задачи. При этом каждая из переменных двойственной задачи определяет предельный прирост значения целевой функции исходной задачи при увеличении на единицу правой части ограничений.

Другими словами двойственные переменные, соответствующие ограничениям (2) определяют эффективность дополнительного прироста продукции, а двойственные переменные, соответствующие ограничениям (3) определяют эффективность дополнительного вовлечения в хозяйственный оборот первичных ресурсов.

Для определения показателей характеризующих эффективность использования ограниченных ресурсов в задаче (1)-(4) оптимизации отраслевой структуры экономики рассмотрим задачу двойственную к ней. Неизвестные переменные двойственной задачи определяют нормативы экономической эффективности использования ресурсов и выпуска продукции, соответствующие оптимальному плану найденному из решения прямой задачи.

Приведем математическую запись задачи двойственной к задаче (1) – (4).

Эндогенные неизвестные переменные задачи:

p_i - эффективность производства (цена) единицы продукции i-ой отрасли ;

q_k – эффективность использования (цена) единицы первичных ресурсов k- ого вида.

Математическая постановка задачи заключается в следующем.

Требуется найти числа p_i (I=1,2,…,n) и v_k (k=1,2,…,m;) такие, что:

К ак известно из теории, переменные и ограничения прямой и двойственной задач линейного программирования связаны между собой, так называемыми, соотношениями двойственности. Эти соотношения представляют собой содержание первой и второй теорем двойственности⁷

Для задач (1) –(4) и (5)-(8) их можно записать в следующей форме.