2. Алгоритм Флойда

Рассмотрим теперь алгоритм Флойда, позволяющий отыскивать кратчайшие пути сразу между всеми парами вершин графа. Этот алгоритм реализуется последовательностью следующих шагов:

1. Пронумеровать вершины данного графа: v₁, …, v_m. Составить матрицу L⁰=[l⁰_ij], (i,j=1, …, m), в которой

2. Выполнить итерации в цикле по индексу k=1, …, m, определяя на каждой итерации матрицу L^k=[l^k_ij], (i,j=1, …, m), в которой

l^k_ij=min{l^k-1_ik+l^k-1_kj, l^k-1_ij}.

2. Закончить выполнение алгоритма.

Выполняя алгоритм Флойда, мы получаем в качестве элемента l^k_ij в матрице L^k длину кратчайшего пути v_i…v_j, допускающего в качестве промежуточных первые k вершин. Когда алгоритм завершает работу, матрица L^m=[l^m_ij], содержит в качестве элементов искомые длины кратчайших путей между вершинами графа.

Заметим, что при отсутствии контуров отрицательного веса выполняются равенства l^k_ii=0, l^k-1_ik=l^k_ik, l^k-1_ik=l^k-1_ki. Признаком наличия в графе контура отрицательного веса является выполнение для некоторого номера i неравенства l^k_ii<0.

Для того чтобы восстановить кратчайшие пути, найденные в ходе выполнения алгоритма, введем в рассмотрение матрицу P=[p_ij], (i,j=1, …, m). Здесь элемент матрицы p_ij - номер предпоследней вершины в кратчайшем пути, соединяющем вершины v_i и v_j. Если величины p_ij будут известны, можно восстановить кратчайший путь v_i…v_j в обратном порядке по номерам вершин p_ij=k₁, p_ik1=k₂, …, p_ikn=i.

Рассмотрим сначала так называемый встроенный способ восстановления пути. При этом нужно дополнить алгоритм Флойда следующими действиями:

• на шаге 1 положить: если l⁰_ij<∞, то p⁰_ij=i, иначе p⁰_ij=0;

• на шаге 2 положить: если l^k_ij=l^k-1_ik +l^k-1_kj, то p^k_ij= p^k-1_kj;

если l^k_ij=l^k-1_ij, то p^k_ij = p^k-1_ij .

Внешний способ восстановления пути позволяет решать задачу после того, как работа алгоритма завершена. Располагая матрицами L⁰ и Lⁿ, определяем p_ik=k₁ так, что lⁿ_ik1+l⁰_k1j=lⁿ_ij, p_ik1=k₂ так, что lⁿ_ik2+l⁰_k2k1=lⁿ_ik1 и так далее.

Пример 13. Для взвешенного орграфа на рис.17а построить кратчайшие пути между каждой парой вершин.

Следуя алгоритму Флойда, получим следующую последовательность матриц:

			0	3	2							1	1	1
L0	=		∞	0	-2		,		P0	=		0	2	2		;
			∞	∞	0							0	0	3

			0	3	2							1	1	1
L1	=		∞	0	-2		,		P1	=		0	2	2		;
			∞	∞	0							0	0	3

			0	3	1							1	1	2
L2	=		∞	0	-2		,		P2	=		0	2	2		;
			∞	∞	0							0	0	3

			0	3	1							1	1	1
L3	=		∞	0	-2		,		P3	=		0	2	2		.
			∞	∞	0							0	0	3

Восстановим теперь кратчайший путь из v₁=s в v₃=f. Рассмотрим элементы матрицы P³:

p₁₃=2, p₁₂=1.

Тем самым восстановлен кратчайший путь v₁v₂v₃ весом l³₁₃=1. Результат совпадает с полученным ранее по алгоритму Форда (рис.18). ■