2. Задание графов с помощью матриц

Представление графа с помощью диаграммы является наглядным, но не позволяет автоматизировать решение задачи. Проблема задания графа с помощью некоторого набора чисел решается с использованием понятий смежности вершин и инцидентности вершины и ребра.

Граф можно задать матрицей смежности, которая представляет собой квадратную матрицу порядка m, где m - число вершин графа. Элементы матрицы смежности p_ij (i,j=1,…m) определяются по следующему правилу:

. (1)

Рассматривая в выражении (1) упорядоченные пары вершин (v_i,v_j), получим правило для определения элементов матрицы смежности орграфа.

Пример 3. Рассмотрим граф G на рис.1. Следуя правилу (1), составим для G матрицу смежности

			0	1	0	1	0	1
			1	0	1	1	0	1
[pij]	=		0	1	0	0	0	0
			1	1	0	0	0	1
			0	0	0	0	0	1
			1	1	0	1	1	0		. ■

Заметим, что получилась симметричная матрица. Матрица смежности будет симметричной для любого неориентированного графа.

Пример 4. Рассмотрим ориентированный граф G₁ на рис.3. Для данного орграфа матрица смежности принимает вид

			0	1	1	0
			0	0	0	1
[pij]	=		0	0	0	0
			0	0	0	0		. ■

В качестве самостоятельного упражнения предлагается составить матрицу смежности для орграфа G₂, изображенного на рис.3.

Любой (m,n)-граф может быть задан матрицей инцидентности с элементами r_ij (i=1,…,m; j=1,…,n), которые определяются по следующему правилу:

(2)

Для орграфа правило (2) принимает вид

(3)

Пример 5. Рассмотрим граф, заданный диаграммой на рис.6, и составим для него матрицу инцидентности, руководствуясь выбранной нумерацией вершин и ребер. Матрица будет содержать семь строк по числу вершин и восемь столбцов по числу ребер:

e1	1	0	0	0	0	0	0	0
e3	1	1	1	0	0	0	0	0
	0	0	1	0	0	0	0	0
e2 v3	0	1	0	1	1	1	0	0
v1	0	0	0	1	0	0	1	0
v4	0	0	0	0	0	1	0	1
e6 e4	0	0	0	0	1	0	1	1

v₅

e₅

v₆

e₇

e₈

v₇

Рис.6

■

П ример 6. Для орграфа, изображенного на рис.7, матрица инцидентности имеет вид:

	-1	0	0	1
	1	0	1	0
	0	1	-1	0
	0	-1	0	-1

■

Задав граф с помощью матрицы смежности, мы можем по элементам этой матрицы определить степени вершин графа.

Степенью вершины deg(v) в графе G называется число ребер, инцидентных вершине v. Для вершины орграфа deg(v)=od(v)+id(v), где полустепень исхода od(v) - число дуг, начинающихся (исходящих) из v, и полустепень захода id(v) - число дуг, заканчивающихся (заходящих) в v. Нетрудно убедиться, что имеют место равенства

_m

deg(v_i)=p_ij (4)

_j=1

и

_{m m}

od(v_i)= p_ij, id(v_i) = p_ki, (5)

^{j=1 k=1}

которые позволяют вычислять степени вершин через элементы матрицы смежности.

Пример 7. Возьмем матрицу смежности графа из примера 3 и вычислим по формуле (4) степени всех вершин. Получим следующие значения:

deg(v₁)=3; deg(v₂)=4; deg(v₃)=1; deg(v₄)=3; deg(v₅)=1; deg(v₆)=4.

Те же значения получаются в результате непосредственного подсчета числа инцидентных ребер для каждой вершины графа на рис.1. ■

Вершины, у которых deg(v)=1, называют висячими (концевыми) вершинами. Ребро, инцидентное концевой вершине, также называется концевым. В предыдущем примере концевыми вершинами оказались v₃ и v₅, концевыми ребрами - {v₂,v₃} и {v₅,v₆}. Если в графе имеется вершина, у которой deg(v)=0, то она называется изолированной.

С понятием степени вершины связан первый результат, полученный Л.Эйлером (L.Euler) в теории графов.

Теорема 1. Сумма степеней всех вершин графа есть четное число, равное удвоенному числу его ребер.

▲ Действительно, каждое ребро инцидентно двум вершинам графа, в сумму степеней вершин оно вносит 2. Значит,

_m

 deg(v_i)=2n,

ⁱ⁼¹

где m, n - соответственно число вершин и ребер графа. ▲

В качестве самостоятельного упражнения предлагается доказать следствие из теоремы 1:

В любом графе число вершин нечетной степени четно.