2. Построение остовного дерева

Рассмотрим алгоритм построения остовного дерева. Следуя принятой в монографии [4] терминологии, обозначим термином "букет" множество вершин любого дерева, содержащегося в исходном графе G. Просматривая ребра исходного графа, будем каким-либо способом помечать их, например, окрашивая в синий и красный цвета.

Алгоритм содержит следующие шаги:

1. Выбрать любое ребро, окрасить его в синий цвет. Сформировать букет, включив в него концевые вершины окрашенного ребра.

2. Если все вершины исходного графа вошли в один букет, то синим цветом окрашено остовное дерево. Тогда перейти к шагу 5, иначе - к шагу 3.

3. Выбрать любое неокрашенное ребро. Если неокрашенного ребра нет, то исходный граф не содержит остовного дерева. Тогда перейти к шагу 5, иначе - к шагу 4.

4. Сделать выбор для вершин, инцидентных выбранному на шаге 3 ребру:

   1. если обе вершины принадлежат одному букету, то окрасить ребро в красный цвет;

   2. если ни одна из вершин не принадлежит ни одному из букетов, то окрасить ребро в синий цвет и сформировать новый букет;

   3. если одна вершина принадлежит одному из букетов, то окрасить ребро в синий цвет и включить вторую вершину в тот же букет;

   4. если две вершины принадлежат разным букетам, то окрасить ребро в синий цвет и слить два букета в один новый.

По окончании выбора перейти к шагу 2.

5. Закончить выполнение алгоритма.

При решении прикладных задач часто приходится работать со взвешенным графом, каждому ребру {v_i,v_j} которого присвоена числовая характеристика w(i,j) - вес ребра. Это позволяет учитывать параметры реальной задачи (расстояние между пунктами, стоимость или время транспортировки и прочее). Весом графа называется сумма весов его ребер. Приведенный выше алгоритм позволяет строить остовное дерево минимального (максимального) веса. Для этого достаточно просматривать ребра исходного графа в порядке возрастания (убывания) их весов. Ребра одинакового веса просматриваются в произвольном порядке

Теорема 7. Алгоритм построения остовного дерева позволяет построить остовное дерево минимального веса, если такое дерево существует в данном графе.

▲ Пусть остовное дерево T построено по алгоритму, а дерево S₀ является остовным деревом минимального веса. Обозначим через e₁={u,v} первое из просмотренных в алгоритме ребер, которое входит в T и не входит в S₀. Так как дерево S₀ является остовным, то в силу теоремы 3 в S₀ существует простая цепь, соединяющая вершины u, v. Эта цепь не содержит ребра e₁. В силу теоремы 3 граф S₀+e₁ содержит цикл. В этот цикл входит ребро e₁, а также некоторое ребро e₂, которое содержится в S₀, но не содержится в T. Рассматривая граф S₁=S₀+e₁-e₂, нетрудно убедиться, что перед нами новое остовное дерево с весом

w(S₁)=w(S₀)+w(e₁)-w(e₂). (8)

Так как S₀ - дерево с минимальным весом, то

w(e₁)-w(e₂)≥0. (9)

Предположим теперь, что в алгоритме ребро e₂ просматривалось раньше, чем e₁. Так как e₂ не было при этом включено в T, то e₂ образует цикл вместе с ребрами, которые рассмотрены в алгоритме раньше и уже включены в T. Среди этих ребер, в силу сделанного предположения, нет ребра e₁. Значит, все они входят в S₀ и образуют в S₀ цикл вместе с e₂. Наличие этого цикла противоречит тому условию, что S₀ - дерево. Следовательно, сделанное ранее предположение об очередности просмотра ребер e₁ и e₂ неверно; ребро e₂ просматривалось в алгоритме не раньше, чем e₁. Это означает, что

w(e₂) ≥w(e₁). (10)

Рассматривая совместно неравенства (9) и (10), приходим к равенству

w(e₁) =w(e₂),

из которого с учетом (8) следует, что

w(S₁)=w(S₀).

Последний результат означает, что S₁ также является остовным деревом минимального веса. При этом S₁ имеет с T на одно общее ребро больше, чем S₀.

Повторяя сделанные рассуждения, построим далее остовное дерево S₂ минимального веса, у которого еще на одно общее с T ребро больше, и так далее. За конечное число шагов получается последовательность остовных деревьев равного веса S₀, S₁, S₂, …, T.

Так как w(S₀)=w(T) и вес S₀ минимальный, то T - остовное дерево минимального веса. ▲