6. Графы специального вида

Рассмотрим примеры графов специального вида, встречающихся в прикладных задачах.

Полный граф K_m - граф, содержащий m вершин, любые две из которых являются смежными. Примеры полных графов приведены на рис.13.

Как известно, разбиением множества V называется набор его попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с V. Граф называется двудольным, если существует такое разбиение множества его вершин на два подмножества (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным долям. Двудольные графы возникают при решении такой прикладной задачи как задача о назначениях.

На рис.14 приведен двудольный граф с разбиением на доли U₁={v₁,v₂,v₃} и U₂={v₄,v₅,v₆}.

2. Деревья

2.1. Эквивалентные определения понятия дерева. Остовные деревья

Дерево - это связный граф, не содержащий циклов. Данное определение не является единственно возможным. Это обстоятельство отражено в следующей теореме.

Теорема 3. Для (m,n)-графа G следующие утверждения эквивалентны:

1. G - дерево;

2. G - связный граф и n=m-1;

3. G не содержит циклов и n=m-1;

4. любые две несовпадающие вершины графа G соединяет единственная простая цепь;

5. G не содержит циклов и обладает тем свойством, что если какую-либо пару его несмежных вершин соединить ребром, то полученный граф будет содержать ровно один цикл.

Доказательство данной теоремы приведено в [2].

Любой граф, не содержащий циклов, называется ациклическим (или лесом). Очевидно, что компонентами леса являются деревья.

Рассматривая понятия дерева и леса совместно с введенным ранее понятием остовного подграфа, мы приходим к понятию об остове.

Остов графа G - это остовной подграф графа G, не содержащий циклов. В силу данного определения остов несвязного графа является лесом, а остов связного графа - остовным деревом. Остовное дерево называют также покрывающим.

В общем случае данный связный граф G содержит не одно, а множество остовных деревьев. Рассмотрим вопрос о количестве остовных деревьев в связном графе.

Для графа G={V,E}, у которого V={v₁,...v_m} и E={e₁,…,e_n}, введем в рассмотрение его матрицу Кирхгофа B(G)=[b_ij] (i,j=1,…,m). Значения элементов определяются правилом

(7)

Сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце матрицы Кирхгофа равна нулю.

Далее, назовем ориентацией графа G любой орграф, который получается из графа G, если каждому ребру придать одну из двух возможных ориентаций. Заметим, что при заданном числе n ребер исходного графа легко определить число всех его возможных ориентаций. На основании принципа умножения комбинаторики это число получается равным 2ⁿ. Понятие ориентации графа используется при формулировке следующих теорем.

Теорема 4. Пусть I - матрица инцидентности какой-либо ориентации графа G с той же, что и в G, нумерацией вершин. Тогда B(G)=I I^T.

Теорема 5. Пусть H - (m,m-1) - граф, I - матрица инцидентности какой-либо ориентации, M - произвольный минор порядка m-1 матрицы I. Тогда:

1. если H - дерево, то M=1;

2. если H не является деревом, то M=0.

Эти теоремы используются для доказательства следующей матричной теоремы Кирхгофа.

Теорема 6. Число остовных деревьев в связном графе G, содержащем не менее двух вершин, равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа B(G).

Следствием теоремы Кирхгофа является утверждение, которое приводится здесь также без доказательства.

Для числа k(G) компонент m-вершинного графа G верно равенство

k(G)=m-rankB(G).

Здесь rank B(G), как обычно, обозначает ранг матрицы Кирхгофа.

Пример 10. Определить число остовных деревьев графа G, изображенного на рис.15.

1. Следуя правилу (1), составим матрицу Кирхгофа данного графа:

			2	-1	0	0	-1	0
			-1	4	-1	-1	0	-1
B(G)	=		0	-1	2	0	-1	0
			0	-1	0	1	0	0
			-1	0	-1	0	3	-1
			0	-1	0	0	-1	2

2. Составим алгебраическое дополнение A₁₂ и вычислим его значение:

			-1	-1	-1	0	-1		1	1	1	0	1		1	1	1	0	1
			0	2	0	-1	0		0	2	0	-1	0		0	2	0	-1	0
A12	=	(-1)1+2	0	0	1	0	0	=	0	0	1	0	0	=	0	0	1	0	0	=
			-1	-1	0	3	-1		-1	-1	0	3	-1		0	0	1	3	0
			0	0	0	-1	2		0	0	0	-1	2		0	0	0	-1	2

			2	0			-1		0				1	0	0
	=	(-1)1+1	0	1			0		0	=	2·(-1)1+1		1	3	0	=
			0	1			3		0				0	-1	2
			0	0			-1		2
=2·2·(-1)3+3					1	0		=4·(3-0)=12
					1	3

3. В силу теоремы 6 число остовных деревьев в данном графе равно 12. ■

Если в дереве выделить некоторую вершину r, то дерево становится корневым. Вершина r называется корнем. Заменим далее каждое ребро дугой так, чтобы из корня можно было построить путь до любой другой вершины. Получим ориентированное дерево с корнем, примером которого является орграф G₁ на рис.3 с корнем r=v₁.