2. Подграф

Граф H={V_H;E_H} называется подграфом графа G={V_G;E_G}, если V_HV_G и E_HE_G; в этом случае говорят, что H содержится в G. Если V_H=V_G, то H - остовный подграф (фактор) графа G. Говорят, что подграф H порожден множеством вершин U, если V_H=U и множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат U.

Аналогично вводится понятие подграфа, порожденного множеством ребер E. У такого подграфа множество ребер совпадает с E, а множество вершин есть множество концов ребер из E.

Для того чтобы получить некоторый подграф исходного графа, используются следующие операции:

- удаление выбранного ребра при сохранении имеющихся вершин;

- удаление выбранной вершины вместе со всеми инцидентными ей ребрами.

Удаление произвольного множества вершин или ребер из графа G можно осуществить путем последовательного удаления всех элементов этого множества. Порядок удаляемых элементов при этом несущественен.

На рис.9 изображены граф и несколько его подграфов. Заметим, что подграф F=G-e₄-e₆-e₇, а подграф G(U)=G-v₃-v₄-v₅. Знак "-" обозначает здесь операцию удаления некоторого элемента графа.

Рис.9. G - данный граф; F - один из факторов графа G;

G(U) - подграф, порожденный множеством U={v₁,v,v₆,v₇};

G(E) - подграф, порожденный множеством E={e₂,e₃,e₄}

2. Маршруты, связность

Определим маршрут, соединяющий в графе вершины v₀ и v_k, как чередующуюся последовательность вершин и ребер v₀, e₁, v₁, …, v_k-1, e_k,v_k, такую, что e_i={v_i-1,v_i} (i=1, …,k). При отсутствии в графе кратных ребер будем в дальнейшем записывать только последовательность вершин v₀v₁v₂…v_k. Если v₀=v_n, маршрут называют замкнутым. Если в маршруте все ребра различны, то его называют цепью, а если к тому же различны все вершины - простой цепью. Замкнутая цепь называется циклом, простая замкнутая цепь - простым циклом.

Для орграфа можно ввести аналогичные понятия, работая с дугами e_i=(v_i-1,v_i) (i=1, …,k). Соответствие в терминологии отражено в таблице

Граф	Орграф
маршрут	ориентированный маршрут
замкнутый маршрут	замкнутый ориентированный маршрут
цепь	цепь
простая цепь	путь
цикл	-
простой цикл	контур

П ример 9. Рассмотрим граф на рис.10. Приведем примеры, иллюстрирующие вновь введенные понятия для неориентированного графа:

1. v₁v₃V₆V₈V₇V₂V₁V₃v₄ - маршрут;

2. v₁v₃v₆v₈v₇V₅V₇v₂v₁ - замкнутый маршрут;

3. v₁v₃v₄ - простая цепь, которая получается из построенного в п.1 маршрута путем удаления выделенных вершин и расположенных между ними ребер;

4. v₁v₃v₆v₈v₇v₂v₁ - простой цикл, который получается аналогично из построенного в п.2 замкнутого маршрута. ■

Граф (мультиграф) называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом.

Назовем связной компонентой (или просто компонентой) графа G всякий максимальный связный подграф графа G. Максимальность понимается в том смысле, что компонента не содержится в другой компоненте с бóльшим числом элементов. Если граф G связный, то в силу сказанного он имеет единственную компоненту, совпадающую с самим графом.

На рис.11 изображен граф, содержащий две компоненты S₁=G{u₁,…,u₄} и S₁=G{u₅,…,u₈}.

Будем говорить, что вершина v графа G - точка сочленения, если G-v содержит больше компонент, чем G. Аналогично, ребро e графа G - мост, если G-e содержит больше компонент, чем G. На рис.12 изображен граф, содержащий мосты {u₂,u₄} и {u₃,u₅}, а также точки сочленения u₃, u₄, u₅. Вершина, инцидентная мосту, является точкой сочленения, если только эта вершина не концевая. Так, вершины u₃ и u₅, инцидентные мосту {u₃,u₅}, являются точками сочленения. Ребро {u₂,u₄} является мостом, так как удаление этого ребра приводит к возникновению двух компонент, одна из которых будет содержать изолированную вершину u₂. Однако, граф G-u₂ является связным, как и граф G. Так что u₂ точкой сочленения не является.