2. Изоморфизм графов

Пусть даны графы G={V_G,E_G} и H={V_H,E_H}. Если между множествами вершин V_G и V_H существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность, то графы G и H изоморфны. Изоморфные графы можно изобразить одной и той же диаграммой. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, которое разбивает множество всех графов на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.

Рассмотрим пример изоморфных графов и обсудим вопрос о связи между их матрицами смежности.

Пример 8. Пусть граф G представлен диаграммой на рис.8а. Матрица смежности графа G имеет вид:

			0	0	1	0
			0	0	1	1
A	=		1	1	0	1
			0	1	1	0

Введем в рассмотрение граф H с множеством вершин {v₁,…v₄}, изоморфный G. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между вершинами u₁v₂, u₂v₄, u₃v₁, u₄v₃, сохраняя смежность. Диаграмма графа H приведена на рис.8б.

v₄

v₂

u₂

u₁

Рис.8

v₃

u₃

u₄

(a)

(б)

v₁

Матрица смежности графа H имеет вид:

			0	1	1	1
			1	0	0	0
B	=		1	0	0	1
			1	0	1	0

Матрицы A и B имеют один и тот же порядок m=4.

Чтобы установить связь между элементами матриц A и B, представим соответствие между множествами вершин U и V в виде , где s(1)=2, s(2)=4, s(3)=1, s(4)=3.

Тогда имеют место равенства

B_s(i)s(j)=A_ij (i,j=1,…m) (6)

Определим матрицу S порядка m с элементами

Для данных графов G и H матрица S имеет вид

			0	0	1	0
			1	0	0	0
S	=		0	0	0	1
			0	1	0	0

Путем непосредственных вычислений проверяется справедливость матричного равенства

B=SAS^-1,

равносильного равенствам (6). ■

Рассмотренный пример иллюстрирует тот факт, что для изоморфных графов существует подстановка на множестве вершин, сохраняющая смежность. Этот общий результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежноcти получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов.

Утверждение теоремы 2 верно также для мульти- и псевдографов, ориентированных графов.