2. Алгоритм Флери построения эйлерова цикла

Установив , что данный граф эйлеров, построим в нем какой-нибудь эйлеров цикл. Для этого нужно указать очередность обхода ребер в цикле, присвоив им соответствующие порядковые номера. Решить такую задачу позволяет алгоритм Флери, который заключается в следующем:

1. Начиная с произвольной вершины s, присваиваем произвольному ребру {s,v} номер 1. Исключаем это ребро из дальнейшего рассмотрения (вычеркиваем) и переходим в вершину v.

2. Пусть на очередном шаге мы пришли в некоторую вершину w, присвоив какому-то ребру {v,w} номер k. Среди еще непронумерованных ребер, инцидентных w, выбираем любую; при этом мост выбираем только в том случае, когда нет других возможностей; присваиваем выбранному ребру номер k+1, вычеркиваем это ребро.

Заканчивается выполнение алгоритма, когда все ребра данного графа пронумерованы.

Далее приведено обоснование алгоритма Флери.

Теорема 9. Алгоритм Флери позволяет построить эйлеров цикл, если такой цикл существует в данном графе.

▲ Так как рассматривается эйлеров граф G, то степени всех вершин четные. Значит, алгоритм заканчивает работу в той вершине, в которой начал. Тем самым показано, что алгоритм Флери строит некоторый цикл С. Осталось доказать, что С включает в себя все ребра графа G. Предположим обратное. Пусть также G´ - связная компонента графа G₁, который получен из G путем удаления всех ребер цикла С. Рассмотрим множество Е´ ребер цикла С, которые инцидентны вершинам из G´. В силу связности графа G имеем E´≠. Пусть e - ребро из Е´, получившее при выполнении алгоритма наибольший номер, то есть пронумерованное среди ребер из Е´ последним (рис.21).

Нетрудно убедиться, что к моменту вычеркивания ребро е было мостом. Однако, это противоречит правилу выбора очередного ребра. Значит, предположение о том, что цикл С не является эйлеровым, неверно. ▲

2. Эйлеровы ориентированные графы

Понятие эйлерова ориентированного графа определяется аналогично понятию эйлерова неориентированного графа. Рассматривается связный орграф, то есть такой орграф, из которого в результате снятия ориентации дуг получается связный неориентированный мультиграф. Цепь, содержащая все дуги орграфа, называется эйлеровой. Связный орграф называется эйлеровым, если в нем есть замкнутая эйлерова цепь. Аналогом теоремы 8 для орграфов является следующая теорема.

Теорема 10. Для связного ориентированного графа G следующие утверждения равносильны:

1. граф G эйлеров;

2. для любой вершины v орграфа G верно равенство od(v)=id(v).

Доказывается эта теорема так же, как теорема 8.