Введение

Теория графов представляет собой область дискретной математики, для которой характерным является геометрический подход к изучению объектов. Зародилась теория графов в 1736 г., когда Л.Эйлер решил популярную математическую головоломку о кенигсбергских мостах и получил критерий существования обхода всех ребер графа без повторений. В 1847 г. Г.Кирхгоф разработал теорию деревьев (графов специального вида) для исследования электрических цепей. Независимо от этого теория деревьев возникла в 1857 г. в работах А.Кэли, посвященных подсчету числа изомеров предельных углеводородов.

В настоящее время результаты и методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, для получения оптимального распределения работ между исполнителями, при планировании разработок проектов (сетевое планирование), при составлении оптимальных маршрутов перемещения рабочих органов станков с числовым программным управлением, при проектировании интегральных схем, для построения блок-схем сложных программных комплексов.

Широкое применение теории графов для решения прикладных задач потребовало включения этого раздела в образовательные стандарты по математике для инженерных специальностей и разработки соответствующего методического обеспечения.

1. Начальные сведения из теории графов

1. Определения графа и ориентированного графа

Граф G - совокупность двух конечных множеств G={V,E}, таких, что VØ и множество E состоит из неупорядоченных пар элементов множества V. Элементы множества V называются вершинами графа G, элементы множества E - ребрами. Граф G называют еще неориентированным графом. Для графа с m вершинами и n ребрами используется название (m,n)-граф.

Вершины графа v_i и v_j называются смежными, если e={v_i,v_j}E. Ребро e в этом случае называется инцидентным вершинам v_i и v_j.

Наглядным представлением графа является диаграмма, на которой вершины графа изображаются произвольно расположенными на плоскости точками. Ребра изображаются линиями, которые соединяют между собой точки, соответствующие смежным вершинам.

Пример 1. Рассмотрим граф G={V,E}, где V={v₁,…,v₆} и E={{v₁,v₂},{v₁,v₄},{v₁,v₆},{v₂,v₃},{v₂,v₄},{v₂,v₆},{v₄,v₆},{v₅,v₆}}. На рис.1 представлена одна из возможных диаграмм данного графа.

v₂

v₁

v₂

v₁

v₃

v₃

v₆

v₄

v₄

v₆

v₅

v₅

Рис.2

Рис.1

На этой диаграмме возникла точка, которая лежит на пересечении линий, изображающих ребра, но не является вершиной графа. На рис.2 представлена другая диаграмма графа G, которая не содержит таких точек. ■

Граф G из примера 1 иллюстрирует понятие плоского (планарного) графа, у которого вершины являются точками плоскости, а ребра - непрерывными линиями без самопересечений, соединяющими соответствующие вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины. Вопрос о том, является ли данный граф плоским, имеет важное значение в приложениях теории графов. Примером таких приложений служит задача о разводке печатных плат, в которой рассматривается граф с вершинами, соответствующими элементам схемы, и ребрами, соответствующими токопроводящим дорожкам.

Пусть V={G,A}, где множество А состоит из упорядоченных пар вершин. Тогда совокупность {G,A} задает ориентированный граф (орграф). Элементы множества А называют в этом случае дугами орграфа. Если существует a=(v_i,v_j)A, то вершины v_i и v_j орграфа называют смежными. Эти вершины инцидентны с дугой а. Вершина v_i называется началом дуги а, вершина v_j - концом. На диаграмме дуги изображаются линиями со стрелками, чтобы различать начало и конец дуги.

П ример 2. На рис.3 изображены диаграммы двух ориентированных графов G₁={V,A₁} и G₂={V,A₂}. Здесь V={v₁,…,v₄}, A₁={(v₁,v₂),(v₁,v₃),(v₂,v₄)} и A₂={(v₁,v₂),(v₃,v₁),(v₄,v₂)}. Заметим, что A₁≠A₂. ■

Рис.3

Любой неориентированный граф можно представить в виде ориентированного графа с тем же множеством вершин. Для этого каждое ребро {v_i,v_j} неориентированного графа нужно заменить парой дуг (v_i,v_j) и (v_j,v_i).

В

v₁

v₂

u₂

u₁

G

H

некоторых задачах возникает необходимость рассматривать мультиграфы, в которых одна и та же пара вершин может соединяться более чем одним ребром, и псевдографы, в которых наряду с кратными ребрами допускаются петли - ребра, соединяющие вершину саму с собой. Примеры мультиграфа и псевдографа приведены на рис.4.

Рис.4. G - мультиграф; H - псевдограф

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением неориентированных и ориентированных графов без кратных ребер (дуг) и петель. Для орграфов следует различать, однако, кратные дуги и дуги, которые соединяют одни и те же вершины, но идут в противоположных направлениях. Сказанное иллюстрирует рис.5.

H

Рис.5. G - орграф с кратными дугами; H - орграф без кратных дуг

G

Существует взаимно однозначное соответствие между ориентированными графами с множеством вершин V без кратных дуг и бинарными отношениями на множестве V. Действительно, для данного множества вершин V орграф полностью определяется заданием множества дуг AV². Бинарное отношение на множестве V также определяется заданием подмножества  декартова квадрата V². Орграф {V,A} и бинарное отношение на множестве V соответствуют друг другу, если =A. Отношения, соответствующие неориентированным графам, обладают свойством симметричности.