Лекція

Вивчення додатних і від'ємних чисел

План

1. Вступні зауваження.

2. Місце в програмі. Вимоги до знань та умінь.

3. Історія розвитку понятя від’ємного числа.

4. Введення поняття від’ємного числа.

5. Дії над додатними і від’ємними числами.

1. Вступні зауваження

Цей розділ відрізняється від попередніх тим, що він підводить учнів до принципово нових ідей, озброює новими методами розв'язування математичних проблем. Відбувається дальше розширення поняття числа, ознайомлення з методом координат, розглядається від'ємні числа, дії над додатними та від'ємними числами, ускладнюється перетворення виразів, обґрунтовується загальний спосіб розв'язування рівнянь, дається поняття степеня.

При цьому забезпечується принцип наступності з 5-м класом у формуванні в учнів навичок обчислень і перетворень виразів.

Збагачення числового запасу істотно впливає на характер вправ. Введення від'ємних чисел дає змогу обґрунтувати такі перетворення виразів, як: розкриття дужок, зведення подібних доданків, перенесення членів рівняння з однієї частини в другу.

Ускладнення рівнянь, завдяки засвоєнню нових перетворень і способів розв'язування, дає можливість збільшити кількість задач, що розв'язуються за допомогою рівнянь.

У цілому математичне використання буквеної символіки, вживання поняття виразу, перетворення виразів сприяють підвищенню теоретичного рівня матеріалу.

2. Місце в програмі. Вимоги до знань та умінь

До 60-х років 20-го століття додатні та від'ємні числа вивчались у курсі алгебри 6 класу (за старою нумерацією класів),тепер 7 класу. Після переходу на нові програми у 70-х роках, коли традиційний курс арифметики, в 1-5 класах було замінено курсом математики, додатні та від'ємні числа почали вивчати у 5-х класах після вивчення десяткових і звичайних дробів.

Після вивчення цих чисел було перенесено на початок 5-го класу перед математичним вивченням звичайних дробів. Але таке місце цієї теми не виправдало себе.

До труднощів вивчення звичайних дробів доклались труднощі дій з додатними та від’ємними числами. Тому чинна програма для 5-6 класів передбачає вивчення додатних і від'ємних чисел після звичайних дробів.

Основна мета вивчення теми - розширити уявлення учнів про число шляхом введення від'ємних чисел, сформувати міцні навички порівняння і виконання чотирьох арифметичних дій над додатними і від'ємними числами, уміння обчислювати значення виразів, що містять додатні та від'ємні числа.

Вимоги до знань та умінь:

• мати уявлення про додатні і від'ємні числа, модуль числа та вміти зображати раціональні числа на координатній прямій, порівнювати їх;

• знати правила виконання чотирьох арифметичних дій, над додатними і від'ємними числами, закони дій і вміти обчислювати вирази, що містять ці числа.

3. Історія розвитку.

Історія розвитку математики свідчить проте, що третє розширення поняття числа – введення від'ємних чисел – люди сприйняли значно важче, ніж перші два (введення нуля і дробів). Це пояснюється тим, що від'ємні числа менше, ніж натуральні і дробові числа пов'язанні з життям, практикою.

Від'ємних чисел не знали ні стародавні єгиптяни і вавілоняни, ні греки. Виникли від'ємні числа в Китаї у 1-му столітті до н.е. у зв'язку з розв’язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків плюс і мінус не було, то іх на відміну від додатніх чисел зображали іншим кольором. Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і зображали їх червоним кольором (китайці їх називали "чен"); від'ємними числами позначали борг, збиток і зображали їх чорним кольором (називали їх "фу"). Індійські математики Брахмагунта (VII ст н.е) і Бхаскар (VII ст) склали правила дій для від'ємних і додатних чисел:

"Сума майна і майно є майно"

"Сума двох боргів є борг"

"Сума майна і боргу дорівнює їх різниці"

"Сума майна і такого самого боргу, дорівнює нулю"

"Добуток боргу на борг є майно"

Але важко було уявити, як це з боргів (перемножених) може "майно". Тому довгий час від'ємних чисел не визнавали, вважали їх несправжніми, абсурдними, фіктивними.

У Європі вперше про від'ємні числа згадує італійський математик Леонардо Пізнанський (Фібоначі,(XII-XIII ст). Німецький математик Михайло Штіерель (XVI ст.) називає від'ємні числа числами меншими ніж ніщо (меншими від нуля).

Він пише "Нуль міститься між істинними й абсурдними числами".

Не дивлячись на ці труднощі потреба виконувати дію віднімання від меншого числа більшого взяла гору.

Вже стародавні грецькі та китайські математики зокрема Діафант дійшли висновку про неминучість введення від'ємних чисел хоча їх не визнавали.

До XVII ст. математики намагались обґрунтувати правила множення від'ємних чисел але такі спроби не були успішними.

У XVII ст. французький математик Рене Декарт у кінці "геометрія" зобразив від'ємні числа за допомогою монорейкової дороги. "Монос" слово грецьке і означає "один".

Монорейкова дорога-дорога з однією рейкою. Як лінійка але на лінійці відкладено лише додатні числа. А на моно рейковій вліво від нуля відкладають від'ємні числа. Тобто Р.Декарт застосував від'ємні числа для побудови аналітичної геометрії.

Труднощі введення від'ємних чисел в історії математики знаходять певні відображення і при вивченні їх в сучасній школі.

Досвід вчителів показує, що введення поняття від'ємних чисел не викликає великих труднощів якщо воно добре мотивоване потребами практики. Набагато важче сприймаються обґрунтування доцільності правил дій над додатними і від'ємними числами.