Π-теорема (пи-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между   физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом  безразмерных величин, где   — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных   величин. Π-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.

Формулировка

Для простоты ниже приводится формулировка для положительных величин  .

Предположим, что имеется зависимость между   физическими величинами  ,  ,  ,  :

вид которой не меняется при изменении масштабов единиц в выбранном классе систем единиц (например, если используется класс систем единиц LMT, то вид функции   не меняется при любых изменениях эталонов длины, времени и массы, скажем при переходе от измерений в килограммах, метрах и секундах к измерениям в фунтах, дюймах и часах).

Выберем среди аргументов функции наибольшую совокупность величин с независимыми размерностями (такой выбор можно, вообще говоря, производить различными способами). Тогда если число величин с независимыми размерностями обозначено   и они занумерованы индексами  ,  ,  ,   (в противном случае их можно перенумеровать), то исходная зависимость   эквивалентна зависимости между   безразмерными величинами  ,  ,  ,  :

где   — безразмерные комбинации, полученные из оставшихся исходных величин  ,  ,  ,   делением на выбранные величины в соответствующих степенях:

(безразмерные комбинации всегда существуют потому, что  ,  ,  ,   — совокупность размерно-независимых величин наибольшего размера, и при добавлении к ним ещё одной величины получается совокупность с зависимыми размерностями).

Доказательство

Доказательство пи-теоремы очень простое. Исходную зависимость   между  ,  ,  ,   можно рассматривать как некоторую зависимость между  ,  ,  ,   и  ,  ,  ,  :

причем вид функции   также не меняется при изменении масштабов единиц. Остается заметить, что в силу размерной независимости величин  ,  ,  ,   всегда можно выбрать такой масштаб единиц, что эти величины станут равными единице, в то время как  ,  ,  ,  , будучи безразмерными комбинациями, своих значений не изменят, поэтому при так выбранном масштабе единиц, а значит, в силу инвариантности, и в любой системе единиц, функция   фактически зависит только от  :

Частные случаи

]Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Часто используется вариант пи-теоремы для функциональной зависимости одной физической величины   от нескольких других  ,  ,  ,  :

В этом случае пи-теорема утверждает, что зависимость эквивалентна связи

где а   определяются так же, как и выше.

Случай, когда пи-теорема дает вид зависимости с точностью до множителя

В одном важном частном случае, когда в зависимости

все аргументы имеют независимые размерности, применение пи-теоремы дает

то есть вид функциональной зависимости определяется с точностью до константы. Значение константы методами теории размерностей не определяется, и для ее нахождения нужно использовать экспериментальные или другие теоретические методы.

Замечания о применении пи-теоремы

Выбор аргументов с независимыми размерностями, вообще говоря, можно делать различными способами, в результате чего при применении пи-теоремы формально могут получаться разные выражения. Однако на самом деле получающиеся результаты эквивалентны, и из одной формы записи можно получить другую путем перехода к комбинациям безразмерных параметров.

В формулировке пи-теоремы требование инвариантности зависимости является важным. Если, например, при работе в Международной системе единиц (СИ) в эксперименте была получена зависимость пути  , пройденного падающим телом, от времени 

то в таком виде она не удовлетворяет условиям пи-теоремы.