3.2.2. Булевы выражения.

Булеы операторы и операнды могут быть объединены при помощи скобок в Булевы выражения. Любое такое выражение, внутренние операнды которого являются булевыми значениями могут быть преобразованы в одно значение истинности при помощи таблицы истинности. Например, используя T и F в качестве значений истинности.

T or ((NOT F) AND F) = T

Результат может быть получен за один шаг путем повторного нахождения внутреннего выражения, заключенного в скобки и замены его значением из таблицы истинности:

Выражение	Шаг уменьшения	Причина
T OR ((NOT F) AND F)	(NOT F) = T	NOT.3
T OR (T AND F)	(T AND F) = F	AND.2
T OR F	(T OR F) = T	OR.2
T

3.2.3. Булевы тождества.

Уравнение между двумя булевыми выражениями, которое не зависит от того, какие значения принимают соответствующие операнды, вроде

NOT(NOT P) = P называется булевым тождеством.

15 полезных булевых тождеств показаны ниже:

1. TRUE AND P = P

2. TRUE OR P = TRUE

3. FALSE AND P = FALSE

4. FALSE OR P = P

5. NOT(NOT P) = p

6. P AND (NOT P) = FALSE

7. P OR (NOT P) = TRUE

8. P OR Q = Q OR P

9. P AND Q = Q AND P

10. P OR (Q OR R) = (P OR Q) OR R

11. P AND (Q AND R) = (P AND Q) AND R

12. P OR (Q AND R) = (P OR Q) AND (P OR R)

13. P AND (Q OR R) = (P AND Q) OR (P AND R)

14. NOT(P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

15. NOT(P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

Доказательства булевых тождеств могут быть организованы в таблицах, в которых перечислены все комбинации булевых значений операндов, и каждая часть тождества эквивалентна по базовым таблицам истинности, затем скомбинированы для того, чтобы найти значение левой и правой части. Если эти значения равны во всех случаях, то тождество считается доказанным.

Например:

1. TRUE AND P = P

P	Left	Right
T	T	T
F	F	F

9. P OR Q = Q OR P

P	Q	Left	Right
T	T	T	T
T	F	T	T
F	T	T	T
F	F	F	F

3.3. Булевы выражения в cf-Паскале

Булевы выражения могут быть включены в состав операторов IF и WHILE языка CF-Паскаль для уменьшения сложности многих программ. В качестве иллюстрации переработаем программу MinSort с использование булевых условий вместо вложенных операторов IF там, где это возможно.

Новые идеи: Булевы выражения языка Паскаль.

SR23. <условие> ::= <выражение> <сравнение> <выражение>

| NOT(<условие>)

|(<условие>) AND (<условие>)

|(<условие>) OR (<условие>)

это правило показывает, что любое условие, используемое с булевым оператором, должно быть заключено в скобки.

Примеры выражений с одинаковым значением:

NOT(Ch1 < Ch2)	Ch1 >= Ch2
NOT(Ch1 > Ch2)	Ch1 <= Ch2
NOT(Ch1 = Ch2)	Ch1 <> Ch2
(Ch1 <= Ch2) AND (Ch1 >= Ch2)	Ch1 = Ch2
(Ch1 <= Ch2) AND (Ch1 < Ch2)	Ch1 < Ch2
(Ch1 <> Ch2) AND (Ch1 > Ch2)	Ch1 > Ch2
(Ch1 < Ch2) AND (Ch1 > Ch2)	FALSE (как правило, это ошибка)
(Ch1 < Ch2) OR (Ch1 > Ch2)	Ch1 <> Ch2
(Ch1 <= Ch2) OR (Ch1 < Ch2)	Ch1 <= Ch2
(Ch1 = Ch2) OR (Ch1 <> Ch2)	TRUE (как правило, это ошибка)

Булевы тождества и факты могут быть использованы для создания эквивалентных условий языка Паскаль. Например, закон деМоргана:

NOT(P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

Означает, что операторы IF, начинающиеся с

IF NOT((Ch1 = Ch2) OR (Ch3 < Ch4))

и

IF (Ch1 <> Ch2) AND (Ch3 >= Ch4)

будут иметь одинаковые действия. Большинству людей более понятен второй вариант.

Булевы выражения очень полезны в программировании. Например:

WHILE (Ch = ‘ ‘) OR (Ch = ‘0’)

DO

READ(Ch)

будет продолжать считывание до первого непробельного ненулевого символа.

IF (Ch >= ‘0’) AND (Ch <= ‘0’)

THEN

WRITE(Ch)

будет печатать только цифры.