Тема 3: Транспортна задача за крітерієм часу

Якість плану ТЗ можна оцінювати за різними критеріями. Розглянемо задачу ТЗ за критерієм часу.

Нехай відомі запаси вантажу у постачальників А , попит споживачів В і час доставки вантажу /нежалежно від об’єму/ по маршруту .

Треба скласти такий план перевезень, який реалізується за мінімальний час і при цьому повністю задовольняє попит.

Якщо сумарний запас вантажу збігається з сумарним попитом, тобто , таку задачу називають закритою, в протилежному випадку – відкритою.

Складемо математичну модель задачі.

Нехай кількість вантажу планується перевезти із і-того пункту постачання в j-ий пунтк споживання, через “t”-час найбільш тривалого перевезення.

Оптимальним будемо вважати план ( ), для якого триваліше перевезення мінімізується.

Модель закритої задачі має вигляд: (1)

x_ij>0

; (2)

; (3)

(4)

У даному випадку цільова функція (1) виявляється нелінійною.

Рівняння (2) – обмеження по запасах (сума всіх постачань, які переміщуються із пункту “і”, дорівнює запасу і-го вантажу); рівняння (3) – обмеження по потребам (сума всіх постачань, які потупають в пункт “j”, дорівнює його попиту ). Умови (4) означають, що обернені перевезення (повернення вантажів) не відбуваються.

Розв’язання задачі (1) – (4) зводиться до задачі про максимальний потік наступним чином: будується сітка з m+n+2 вершинами, “m” з яких відповідають джерелу I та стоку S.

Пропускні спроможності ребер вважають рівними

Біля ребер (A_i,B_j) записують час t_ij доставки вантажу. Час доставки по ребрах (I,A_i) та (B_j,S) вважають рівним нулю, тобто t_Iai=0 = t_BjS.

Після цього відшукується потік заданої потужності

, при якому посягає мінімальної величини.

В процесі цих пошуків, при наявності альтернативи, виключаються з розгляду маршрути з більш тривалими поставками.

Розв’язання закінчується, коли заміна більш тривалих маршрутів менш тривалими виявляється неможливою.

Побудуємо, в якості прикладу, сітку для ТЗ, вважаючи, що тарифи перевезень збігаються з тривалістю перевезень, тобто t_ij=c_ij , і відшукаємо принаймні один з планів ТЗ за критерієм часу, наближений до оптимального.

Аналізуючи тривалість поставки вантажів споживачу В₁ (він найвіддальніший), помічаємо, що і тому в потік вантажів потужності

F=280+300+220=800, повинен входити вантаж, який переміщується із пункту А₁ до пункту В₁.

Один з таких потоків відмічяємо як Х⁰.

Х⁰ = (х₁₁, х₁₄,х₂₂,х₂₅,х₃₃,х₃₄) = (170,110,120,180,80,140)

За часом поставки Х⁰ такий (30, 9,16,5,12,27).

Вважаючи час поставки пропорційним тарифу, можна обчислити вартість перевезень за таким маршрутом.

Z = 170*30 + 110*9 + 120*16 + 180*5 + 80*12 + 140*27 = 13670,

А загальний час перевезень дорівнює

30 + 9 + 16 + 5 + 12 + 27 = 99

Розглянемо ще і такий план перевезень

Х¹ = (х₁₁, х₁₃,х₁₅, х₂₁,х₂₅,х₃₂,х₃₃) = (70,90,20,140,160,120,100).

Для нього розподіл часу поставок такий (30,9,9,17,5,18,12),

тобто загальний час перевезень дорівнює

30+9+9+17+5+18+12=100,

а вартість перевезень

Z=170*30+90*9+20*9+140*17+160*5+120*18+100*12=12630

З точки зору критерію часу план Х⁰ кращий за план Х¹, а за вартістю навпаки.

Розглянемо ще оптимальний план, отриманий методом потенціалів, а саме:

Х*= (х₁₂,х₁₃,х₁₄,х₂₄,х₂₅,х₃₁,х₃₃) = (120,140,20,120,180,170,50).

Для нього вартість найменша і складає 12320, але неє оптимальним за критерієм часу. Дійсно, розподіл часу поставки за цим планом такий:

(14,9,20,17,5,32,12)

і загальний час перевезень дорівнює 14+9+20+17+5+32+12=109.

Зауваження Можна побудувати багато різних планів і порівнювати їх за критерієм часу, обираючи з них найкращий.

У нашому прикладі найкращим за критерієм часу буде план Х⁰, за вартістю перевезень - план Х¹, але Х* не буде оптимальним за критерієм часу тому, що найтриваліше за часом перевезення х₂₁ не буде найменшим за часом (37)

вj ai	170	120	190	140	180
280	30	14	9	20	9
300	37	16	14	17	5
220	32	18	12	27	17

До змісту

До змісту