Теорема 3

Двоїсті оцінки показують приріст функції цілі, який є наслідком малої зміни вільного члену відповідного обмеження задачі математичного програмування, точніше

(9)

Економічний зміст теореми 3

Замінемо в рівності (9) диференціали приростами. Отримуємо

при маємо

Величина двоїстої оцінки чисельно дорівнює зміні цільової фунукції при зміні відповідного члену обмежень на одиницю.

У прикладних задачах двоїстості оцінки у_і іноді називають прихованими, тіньовими оцінками, або маргинальними оцінками ресурсів.

До змісту

До змісту

Задача

На підприємстві на певний плановий період з’явилися відходи сировини трьох типів у відомих обсягах, які вирішили використати для виробництва двох видів продукції обсягом х₁, х₂.

Математична модель отримання максимальної виручки від реалізації цих виробів така:

Розв’язок цієї задачі

Але у підприємства з’явилась можливість реалізації цих відходів деякій організації.

Визначити приблизні ціни на ці відходи у₁,у₂,у₃, для чого сформулювати і розв’язати двоїсту ЗЛП з урахуванням вимог математичної моделі почткової проблеми, тобто

Розв’язування симплекс-методом

- розв’язок, який задовольняє

або

S =

y4	y5	y1	y2	y3	bj
1	0	2	-5	3	-2
0	1	4	2	-2	-5
0	0	4	-10	-12	0

Так як b_j<0, то

1) min {-2;-5} = -5 => 2-ий рядок головний

2. min {-2/-5} = 2/5 = > C₂₅ = -2 = p

3)

y4	y5	y1	y2	y3	bj
0	-1/2	-2	-1	1	5/2
1	0	2	-5	3	-2
0	0	4	-10	-12	0

4)

y4	y5	y1	y2	y3	bj
0	-1/2	-2	-1	1	5/2
1	3/2	8	-2	0	-19/2
0	-6	-20	-22	0	30

_{5) переставимо стовпчик y3 та y}5

y3	y4	y1	y2	y5	bj
1	0	-2	-1	-1/2	5/2
0	1	8	-2	3/2	-19/2
0	0	-20	-22	-6	30

=>X = (0,0,5/2,-19/2,0)Д =>повторюємо , так як це не опорний розв’язок

1. min {-19/2} = -19/2 = > 2-ий рядок головний

2. min {-2/-19/2} = 4/19 = >C₂₄ = -2 = p

3)

y3	y4	y1	y2	y5	bj
0	-1/2	-4	1	-3/4	19/4
1	0	-2	-1	-1/2	5/2
0	0	-20	-22	-6	30

4) обнульовуємо стовпчик 4

y3	y4	y1	y2	y5	bj
0	-1/2	-4	1	-3/4	19/4
1	-1/2	-6	0	-5/4	29/4
0	-11	-108	0	-45/2	269/2

_{5) переставимо стовпчик y4 та y}2

y2	y3	y1	y5	y4	bj
1	0	-4	-3/4	-1/2	19/4
0	1	-6	-5/4	-1/2	29/4
0	0	-108	-45/2	-11	269/2

• Y₀ = (0; 19/4; 29/4; 0; 0)

• Fmax = -269/2 Fmin = 269/2

Так як оцінковий рядок має тільки від’ємні числа, то опорний розв’язок є і оптимальним.

Зробимо аналіз одержаних результатів і згідно з теоремою невідомі змінні першої задачи і другої пов’язані між собою:

х₁ х₂ х₃ х₄ х₅

у₄ у₅ у₁ у₂ у₃

Узгодження між змінними в прямій і двоїстій задачах треба розуміти так:

1. оптимальний план прямої задачи

Х= (11,45/2, 108, 0, 0) Zmax = 269/2

визначає коефіцієнти цільової функції двоїстої задачи і навпаки

2. Zmax = Fmin