Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст Теорема 1

Якщо одна з двоїстих задач має оптимальний розв’язок, тоді й інша має оптимальний розв’язок, причому екстремальні значення цільових функцій рівні

Z (x^*) = F (y^*)

Якщо одна з двоїстих задач не має розв’язків внаслідок необмеженості цільової функції на множині припустимих розв’язків, тоді система обмежень другої задачі суперечлива.

Зауваження 1 між змінними двоїстих задач можна визначити відповідність так, що додаткові змінні однієї задачі відповідають основним змінним іншої, і навпаки

х₁ х_{2 . . . .} х_п х_п+1 х_{п+2 . . . .}х_п+т

у_т+1 у_{т+2 . . . .}у_п+т у₁ у_{2 . . . .} у_т

Зауваження 2 Економічний зміст першої теореми двоїстості полягає в такому: якщо задача визначення оптимального плану, який максимізує випуск продукції, має розв’язок, тоді має роза’язок і задача оцінки ресурсів.

Причому ціна продукції, яка отримана при реалізації оптимального плану, збігається з сумарною оцінкою ресурсів.

Пристайність значень цільових функцій для відповідних планів пари двоїстих задач достатня для того, щоб ці плани були оптимальними.

Це означає, що план виробництва і вектор оцінок ресурсів виявляються оптимальними тоді і лише тоді, коли ціна виготовленої продукції і сумарна оцінка ресурсів збігаються .

Оцінки виступають як інструмент балансування витрат і результатів.

Двоїсті оцінки мають таку властивість, що вони гарантують рентабельність оптимального плану і обумовлюють збитковість будь-якого іншого плану, який відрізняється від оптимального.

Двоїсті оцінки дозволяють порівняти і збалансувати витрати і результати.

Теорема 2 ( про додаткову нежорсткість)

Для того, щоб плани Х* і У* пари двоїстих задач були оптимальними, необхідно і достатньо виконання умов:

(7)

(8)

Зауваження Умови (7), (8) називаються умовами додаткової нежорсткості. З них випливає: якщо деяке обмеження однієй із задач перетворюється її оптимальним планом у точну нерівність, тоді відповідна компонента оптимального плану двоїстої задачі повинна дорівнювати нулю; якщо деяка компонента оптимального плану однієї задачі додатня, тоді відповідне обмеження в двоїстій задачі перетворюється її оптимальним планом у точну рівність.

З економічної точки зору це означає, що , якщо за деяким оптимальним планом Х* виробництва витрати і-го ресурсу точно менше його запасу в_і, тоді в оптимальному плані відповідна двоїсна оцінка цього ресурсу дорівнює нулю.

Якщо ж, в деякому оптимальному плані оцінок його і – та компонента точно додатня, тоді в оптимальному плані виробництва витрати відповідного ресурсу дорівнюють його запасу.

Висновок: двоїсті оцінки можуть бути мірою дефіцитності ресурсів.

Дефіцитний ресурс ( який повністб використовується за оптимальним планом виробництва) має позитивну (додатню) оцінку, а ресурс надлишковий (який використовується не повністю) має нульову оцінку.