До змісту

Міністерство науки та освіти України

Харківський машинобудівний коледж

Циклова комісія „математики, інформатики та комп’ютерної техніки”

Методичні вказівки і завдання

на обов’язкову домашню роботу

Економіко-математичні методи в плануванні

Для студентів економічних спеціальностей.

Харків 2005

Зміст

Тема 1:Поняття двоїстості

Задача оптимального використання сировини через побудову двоїстої задачі

Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст

Задача

Тема 2:Динамічне програмування (дп)

Основні поняття

Особливості задач динамічного програмування

Задача розподілу ресурсів

Тема 3: Транспортна задача за крітерієм часу

Варіанти завдань

Задача 1

Задача 2

Задача 3

ЛІТЕРАТУРА

До змісту

Тема 1:Поняття двоїстості Задача оптимального використання сировини через побудову двоїстої задачі

В плановому періоді з’явились відходи т типів в обсягах в_і одиниць (і=1,т)

З цих відходів можна налагодити випуск п типів неосновної продукції. Позначимо через

а_ij - норму витрат сировини і-го типу на одиницю j-ої (j=1,n) продукції,

с_j – ціну реалізації одиниці j-ої продукції ( реалізація забезпечена).

Невідомі величини задачі :

Х_j – обсяг випуску j-ої продукції, що забезпечує підприємству максимум виторгу.

Математична модель задачі:

тах Z = с₁х₁ +с₂х₂ + . . . +с_пх_п (3)

а₁₁х₁+ . . . +а_1пх_п <=b₁

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . x_j>=0 (j=1,n) (4)

а_m1х₁+ . . . +а_mпх_п <=b_m

Припустимо далі, що з самого початку, при вивченні питання про використання відходів основного виробництва, на підприємстві з’явилася можливість реалізації цих відходів деякій організації. Необхідно визначити приблизні ціни (хоча б наближено) на ці відходи. Позначимо їх у₁, у₂, . . . , у_п.

Ціни повинні задовольняти деяким умовам, які відзеркалюють різні інтереси підприємства і купуючої організації, а саме:

1. загальну вартість відходів сировини купуюча організація намагається мінімізувати;

2. підприємство згодне віддіти відходи лише за таку ціну, яка не менше за той виторг, який отримає підприємств, якщо саме буде виробляти продукцію з цих відходів.

Ці вимоги формалізуються у вигляді такої ЗЛП

Вимога 1: купуючої організації – мінімізація покупки

F = b₁y₁ + b₂y₂ + . . . + b_my_m min (5)

Вимога 2 : підприємства, що продає відходи; її можна сформулювати у вигляді системи обмежень.

Підприємство відмовиться від випуску продукції першого типу, якщо

а₁₁ у₁ + а₂₁у₂ + . . . + а_т1у >=с₁ ,

де ліва частина нерівності означає виторг за сировину, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції першого типу, права – її ціну.

Аналогічні міркування можна здійснити відносно випуску продукції кожного типу. Тому вимоги підприємства – реалізатора можна формалізувати у вигляді такої системи обмежень:

а₁₁у₁ + а₂₁у₂ + . . . +а_т1у_т >=с₁

а₁₂у₁ + а₂₂у₂ + . . . +а_т2у_т >=с₂ (6)

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . у_і>=0 (і=1,т)

 а_1пу₁ + а_2пу₂ + . . . +а_тпу_т >=с_п

Змінні у_і(і=1,т) називаються двоїстими оцінками, або об’єктивно обумовленими оцінками (тіньові ціни).

Задачі (3), (4) і (5), (6) називають парою двоістих ЗЛП ( пара симетричних двоістих задач):

Пряма задача	Двоіста задача

Можна довести, що якщо в якості прямої прийняти задачу (5), (6) про визначення оптимальних цін за сировину, тоді двоїстою до неї буде задача (3), (4) про визначення оптимального плану випуску продукції.

Порівнюючи моделі (3), (4) і (5), (6) пари двоїстих задач, можна визначити такі зв’язки між ними:

• якщо пряма задача – на мінімум, тоді двоїста задача на максимум, і навпаки

• коефіцієнти цільової функції С_j прямої задачі виявляються вільними членами системи обмежень двоїстої задачі

• вільні члени в_і системи обмежень прямої задачі виявляються коефіцієнтами цільової функції і двоїстої задачі

• матриці системи обмежень прямої задачі і двоїстої задачі виявляються транспонованими по відношенню одної до іншої

• якщо пряма задача на максимум, тоді її система обмежень містить у собі нерівності типу “”. Двоїста задача розв’язується на мінімум і її система обмежень має вигляд типу “ ”

• усі змінні в обох задачах невід’ємні.

До змісту

До змісту