Критерий качества цифровой системы передачи данных

Перед тем как приступить к обоснованию теоремы Шеннона необходимо ввести некоторые понятия, характеризующие качество цифровой системы передачи данных. В цифровой системе связи как и в аналоговой также существует критерий качества, который соответствует нормированной величине отношения мощности сигнала к мощности шума, , — это энергия одного бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время передачи одного бита , т. е. . — это спектральная плотность мощности шума в полосе 1 Гц, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы F. Поскольку время передачи бита и скорость передачи битов R взаимно обратны, можно заменить на :

(26)

Необходимо отметить, что одной из важной метрикой качества в системах цифровой связи является график зависимости вероятности появления ошибочного бита от . На рис. 16 показан вид большинства подобных кривых. При Безразмерное отношение — это стандартная качественная мера производительности систем цифровой связи. Следовательно, необходимое отношение можно рассматривать как метрику, позволяющую сравнивать качество различных систем; чем меньше требуемое отношение , тем менее эффективен процесс распознавания приемным оборудованием информационного бита сигнала при данной вероятности ошибки.

Рис. 16. Общий вид зависимости вероятности появления ошибочного бита от отношения энергии бита к спектральной плотности мощности шума

Теорема Шеннона о пропускной способности канала

Шеннон показал, что пропускная способность канала C с аддитивным⁴ белым шумом является функцией средней мощности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания W. Выражение для пропускной способности можно записать следующим образом:

(27)

Если F измеряется в гц, а логарифм берется по основанию 2, то пропускная способность будет иметь размерность бит/с. В своей работе Шеннон показал, что теоретически при использовании сложной схемы кодирования информацию можно передавать с любой скоростью R с малой вероятностью возникновения ошибки при условии . Если же , то кода, с помощью которого можно добиться малой вероятности ошибки, не существует. Отсюда следует, что пределы скорости передачи данных устанавливают исключительно величины S, N, и F, а не вероятности появления ошибок. Формулу (26) можно использовать для графического представления доступных пределов производительности систем передачи информации. Рассматривая систему через вышеуказанную метрику качества и, учитывая, что мощность определяемого шума пропорциональна полосе пропускания канала , т. е. мощность шума равна средней мощности шума в рассматриваемой полосе частот, то выражение (27) можно записать следующим образом:

(28)

Если битовая скорость передачи равна пропускной способности канала , то с помощью выражения (26) можно записать следующее:

(29)

Таким образом, выражение (28) можно модифицировать следующим образом:

(30)

(31)

(32)

Таким образом, из выражения (26) видно, что для достижения определенного критерия качества ( ) при средней мощности шума (N = const) для увеличения отношения ( ) необходимо увеличивать среднюю мощность сигнала S. Если значение , соответствующее оси абсцисс (рис. 17), условно принять за компромисс между полосой и мощностью, то область выше оси абсцисс можно назвать областью эффективного использования полосы, а область ниже — «областью эффективного использования мощности» [7].

Однако передавать информацию с хорошим качеством для всех значений ( ) невозможно, т. к. для критерия качества ( ) существует нижнее предельное значение при котором ни при какой скорости передачи нельзя осуществлять безошибочную передачу информации. С помощью второго замечательного предела можно получить граничное значение ( ) [8].

Заменим выражение на x, тогда, из уравнения (30) получим следующее:

и

В пределе, при , получаем

(33)

или в децибелах, .

Рис. 17. Теоретическая взаимосвязь по Шеннону максимальной пропускной способности канала связи с отношениями ( ) и ( )

Полученное значение называется пределом Шеннона. Чуть позже другой американский ученый Гарри Найквис вывел зависимость не противоречащую формуле Шеннона, в которой также ширина полосы сигнала является единственным ограничением.