5 Анализ прохождения помехи через блоки демодулятора

Исходные данные:

• канал связи моделируется полосовым фильтром с П-образной АЧХ, полоса пропуска которого равна ширине спектра модулированного сигнала;

• в полосе пропускания канала связи действует аддитивный квазибелый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности N₀/2;

• метод цифровой модуляции;

• минимальное расстояние между сигналами;

• схема демодулятора.

Необходимо:

• выполнить анализ прохождения помехи через блоки демодулятора: синхронные детекторы, ФНЧ и решающее устройство;

• рассчитать и построить график условной плотности вероятности на одном из входов решающего устройства;

• рассчитать вероятности ошибок сигнала и двоичного символа.

Теоретические сведения и расчетные соотношения

На вход демодулятора поступает помеха n(t) – аддитивный квазибелый гауссовский шум с равномерной спектральной плотностью мощности (СПМ) в полосе пропускания канала связи

(5.1)

Действие перемножителя на помеху можно определить, учитывая свойство преобразования Фурье: умножение на гармоническое колебание частоты f₀ порождает две составляющие, спектры которых сдвинуты на +f₀ и –f₀ относительно спектра входного сигнала. В этом случае СПМ каждой из двух составных получает множитель ¼. Если гармоническое колебание имеет амплитуду , то множитель равняется ¼( )² = ½. Каждая из составляющих также является белым шумом, а сами составляющие независимы на любой из частот. Поэтому СПМ их суммы в интервале частот (–F_s/2 < f <F_s/2) вдвое больше СПМ каждой из них, и, таким образом, на выходах каждого из перемножителей имеет место квазибелый шум с СПМ

(5.2)

Мощность шума на выходе ФНЧ легко определить, если известная его шумовая полоса F_ш. АЧХ ФНЧ демодулятора определяется соотношением (4.1). Максимальное значение АЧХ Н_max равняется и (попробуйте доказать)

(5.3)

С выхода ФНЧ берется отсчет помехи, и имеем  – случайную величину с гауссовским распределением вероятности. Ее дисперсия (мощность) равняется дисперсии помехи на выходе ФНЧ

(5.4)

Итак, на основе анализа прохождения сигнала и помехи через блоки демодулятора на входах решающего устройства имеем оценки координат переданного сигнала = a_iс + _c и = a_is + _s, где а_іс, a_is – числа, которые описывают переданный сигнал; _с, _s – независимые отсчеты помех в подканалах демодулятора со среднеквадратическим отклонением (СКО) . Условную плотность вероятности на косинусном входе решающего устройства при условии, что передавался сигнал s₀, можно записать

(5.5)

Алгоритм работы решающего устройства следующий. Вся плоскость, на которую нанесено сигнальное созвездие, разбивается на М непересекающихся областей. Границами областей должны быть совокупности точек, находящихся на равных расстояниях от ближайших сигнальных точек – это минимизирует вероятность ошибки при вынесении решения о номере переданного сигнала.

Знание сигнального созвездия и СКО помехи достаточно для расчета вероятности ошибки сигнала. На рис. 2 в каждом созвездии обозначенный сигнал s₀. Для сигналов ФМ-4, КАМ-8 и КАМ-16 ошибка сигнала s₀ будет иметь место, если хотя бы одна из координат попадет в область другого сигнала. Поэтому условием возникновения ошибки является _с > d/2 или _s > d/2, а вероятность ошибки

(5.6)

где m – количество ошибочных переходов: для ФМ-4 m = 2, для КАМ-8 m = 3, для КАМ-16 m = 4, если учесть лишь переходы в ближайшие сигналы;

F_(х) – функция распределения вероятности случайной величины ;

Q(z) – интеграл вероятности;

 – это _с или _s.

Так просто формулируется условие возникновения ошибок, когда линии, соединяющие сигнальные точки, параллельны оси а_c или оси a_s. Если линия, которая соединяет сигнальные точки, не параллельна ни одной из осей координат, то условие возникновения ошибки формулируется по-иному. Такая ситуация имеет место в случае ФМ-8. Анализ показывает, что в случае ФМ-8 вероятность ошибки сигнала определяется формулой (5.6), m = 2.

Если используется модуляционный код Грея, то в случае ошибки сигнала возникает ошибка лишь в одном разряде комбинации, которая передается этим сигналом. В таком случае вероятность ошибки двоичного символа (бита) определяется

р = Р_ош/n, (5.7)

где n определяется соотношением (3.8).

Рекомендованный порядок выполнения задачи 5

Описать преобразование помехи в демодуляторе.

Рассчитать значения дисперсий на входах решающего устройства – формула (5.4).

Рассчитать и построить график условной плотности вероятности на одном из входов решающего устройства при условии, что передавался сигнал s₀ – формула (5.5): дисперсия рассчитана выше, а координаты сигнала s₀ найдены в разд. 3.

Рассчитать вероятности ошибок сигнала и двоичного символа по формулам (5.6), (5.7).