3 Расчет сигнального созвездия цифровой модуляции

Исходные данные:

• метод цифровой модуляции;

• средняя мощность P_s модулированного сигнала;

• длительность двоичного символа Т_б цифрового сигнала.

Необходимо:

• разработать модуляционный код;

• представить координаты точек сигнального созвездия через минимальное расстояние между сигналами d ;

• установить связь между минимальным расстоянием между сигналами d и энергией модулированного сигнала, затрачиваемой на передачу одного бита E_б;

• вычислить значения E_б и d.

Теоретические сведения и расчетные соотношения

Полученный с выхода АЦП цифровой сигнал (ЦС) передается каналом связи сигналом заданного метода модуляции. В случае цифровых методов модуляции модулированные сигналы s(t) записываются

s(t) = (3.1)

где s_і(t), и = 0, 1, ..., М – 1 – элементарные сигналы;

М – число элементарных сигналов (число позиций модулированного сигнала);

k – номер тактового интервала;

Т – длительность тактового интервала (время, через которое элементарные сигналы посылаются в канал связи);

– сигнал s_i(t), передаваемый на k-м тактовом интервале.

Элементарными сигналами в случае заданных для выполнения КР модулированных сигналов (ФМ-4, ФМ-8, КАМ-8 и КАМ-16) являются радиоимпульсы

s_і(t) = a_іc A(t) cos2f₀t + a_іs A(t) sіn2f₀t, i = 0, 1, ..., М – 1, (3.2)

где а_іc, a_іs – пара чисел, которые передаются i-м элементарным сигналом по каналу связи;

A(t) – огибающая радиоимпульсов;

f₀ – частота несущего колебания;

a_c(t) = a_іc A(t) cos2f₀t и a_s(t) = a_іs A(t) sіn2f₀t – ортогональные колебания, которые образуют базис для представления сигналов s_i(t); если спектр импульса A(t) описывается соотношением (5.1), то не тяжело показать, что энергии колебаний a_c(t) и a_s(t) равняют единице, т.е. колебание a_c(t) и a_s(t) образуют ортонормированный базис.

От описания (3.2) можно перейти к векторному представлению элементарных сигналов

, (3.3)

где и – орты, а а_іc и a_іs – координаты i-го сигнала в двумерном пространстве, т.е. на плоскости. Представление элементарных сигналов точками в соответствующем пространстве называют сигнальным созвездием.

В задании на КР заданы методы модуляции ФМ-4, ФМ-8, КАМ-8 и КАМ-16 [5, разд. 2.1, 2.2]. Соответствующие им сигнальные созвездия приведены на рис. 2:

• в случае ФМ-4 сигнальные точки размещены равномерно на окружности с шагом 90;

• в случае ФМ-8 сигнальные точки размещены равномерно на окружности с шагом 45;

• в случае КАМ-8 точки размещены в узлах квадратной сети, образованной тремя близлежащими квадратами;

• в случае КАМ-16 точки размещены равномерно в узлах квадратной сети.

Сигнальное созвездие позволяет проанализировать дистанционные свойства множества элементарных сигналов и оценить помехоустойчивость соответствующего модулированного сигнала в условиях помех.

Для полного описания созвездия необходимо указать координаты всех сигнальных точек. Это легко сделать, поскольку созвездие имеет простую структуру (она описана выше для четырех заданных методов модуляции). Обычно координаты сигнальных точек выражают через минимальное расстояние между сигналами d, или через среднюю энергию сигналов Е_ср, или энергию Е_б, затрачиваемую на передачу одного бита. Установим связь между ними.

В нормированном пространстве расстояния между сигналами и энергии каждого из сигналов определяются так

d(s_i, s_j) = i, j = 0, 1, …, M – 1, i  j, (3...4)

E_i = , i = 0, 1, …, M – 1... (3.5)

Средняя энергия сигналов

E_ср = . (3.6)

Средняя энергия, которая затрачивается на передачу одного бита,

Е_б = E_ср / n, (3.7)

где n = log₂M – (3.8)

число бит, передаваемых элементарным сигналом.

Из рис. 2 видно, что расстояния не равны между собой. На рис. 2 указаны наименьшие из расстояний и обозначены d. Поскольку и d, и Е_б определяются через координаты сигнальных точек, то можно установить между ними связь.

Рекомендованный порядок выполнения задачи 3

Привести сигнальное созвездие для заданного метода модуляции и разработать модуляционный код, т.е. установить соответствие между сигналами s_i и кодовыми комбинациями, которые передаются каждым из сигналов. Длина кодовых комбинаций модуляционного кода определяется соотношением (3.8). Лучший модуляционный код – это код Грея. В случае кода Грея кодовые комбинации, соответствующие любым двум ближайшим сигналам, отличаются лишь в одном разряде.

Пронумеровать сигналы s₀, s₁, …, s_M–1... Удобно, чтобы номером сигнала являлась запись кодовой комбинации модуляционного кода в десятичной системе счисления. На рисунке сигнального созвездия рядом с каждой сигнальной точкой указать номер сигнала и соответствующую комбинацию модуляционного кода, например, s₉ (1001).

Определить координаты сигнальных точек а_іc и a_іs через минимальное расстояние между сигналами d и занести их в таблице наподобие табл. 2.

Таблица 2 – Описание сигнального созвездия и модуляционный код

si	Кодовая комбинация	aic	ais	Еi
s0 s15	0000 1111	–0,5d 0,5d	–0,5d 1,5d	0,5d 2 2,5d 2

Вычислить энергию, затрачиваемую на передачу одного бита:

Е_б = Р_sТ_б, (3.9)

где Р_s – средняя мощность модулированного сигнала;

Т_б – длительность бита.

Для определения числового значения d необходимо по формулам (3.5)…(3...7) последовательно выразить Е_і, Е_ср и Е_б через d (значения Е_і занести в таблицу). Для проверки полученного выражения Е_б через d можно обратиться к Приложению Б.

Вычислить d, поскольку числовое значение Е_б известно.