§8. Аффинное преобразование в координатах

Теорема 1: при аффинном преобразовании пространства координаты произвольной точки и координаты ее образа в одной и той же аффинной системе координат связаны формулами вида

, , (1)

то есть

при условии (2)

□ Введем в пространстве аффинную систему координат и пусть при аффинном преобразовании отображается на точку . Обозначим также , где .

Векторное преобразование , ассоциированное с , является линейным, следовательно, выражается формулами вида:

При выполнении условия (2). По определению ассоциированного отображения, векторное отображение отображает вектор на вектор . Но , ( ’- ), тогда, подставляя координаты этих векторов вместо и в формулы (3), получаем равенства:

то есть равенство (1). ■

Замечание 1: следует отличать формулы (1) аффинного преобразования пространства от внешне похожих на них формул преобразования координат точки (6) из теоремы (2) §2, где связаны координаты одной и той же точки в разных системах координат. Формулы же (1) связывают, вообще говоря, координаты двух различных точек (точки и её образа) в одной и той же системе координат.

Теорема 2 (обратная): всякое преобразование пространства , выражаемое в некоторой аффинной системе координат формулами вида (1) при условии (2), является аффинным преобразование этого пространства.

□ Пусть - векторное пространство, связанное с данным аффинным пространством . По определению аффинного преобразования достаточно показать, что для данного преобразования существует ассоциированное с ним изоморфное преобразование пространства .

Покажем, что таким преобразованием является преобразовании с формулами (3).

Пусть при и отображаются соответственно на точки и , тогда имеем: и . Но по формулам (1)

Оттуда получаем:

Таким образом, координаты векторов и связаны уравнениями (3). Следовательно, преобразование отображает вектор на вектор и поэтому ассоциировано с преобразованием . Так как преобразование выражается формулами (3) при условии (2), то оно является изоморфным. ■

Следствие: если аффинное преобразование выражается формулами (1) при условии (2), то ассоциированное с ним векторное преобразование выражается формулами (3).

Теорема 3: для любых двух реперов и существует единственное аффинное преобразование пространства такое, что оно отображает точку A на точку A’, ассоциированное с ним векторное преобразование отображает базис на базис .

□ 1) Рассмотрим аффинную систему координат . Из курса алгебры известно, что в векторном пространстве , связанным с , существует единственное преобразование , отображающее базис на базис . Пусть оно выражается формулами (3) при условии (2). Тогда аффинное преобразование с формулами (1), где , обладает всеми свойствами, перечисленными в теореме.

С другой стороны, непосредственно подставляя координаты точек в формулы (1), убеждаемся, что .

2) Обратно, любое аффинное преобразование со свойствами из формулировки теоремы совпадает с преобразованием с формулами (1). Действительно, пусть задано формулами:

Так как , то имеем: . А так как векторное преобразование, ассоциированное с , отображает базис на базис , то оно совпадает с преобразованием и . ■

Замечание 2: Назовем два координатных репера одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный определитель, в противном случае (если определитель матрицы перехода отрицателен) назовём реперы разноименным. Таким образом, множество всех базисов распадается на два непересекающихся класса. Назовем их правые и левые. При аффинном преобразовании с положительным определителем все правые системы векторов переходят в правые системы, а левые – в левые. При аффинном преобразовании с отрицательными определителем все правые системы векторов переходят в левые системы, а левые – в правые.

Определение 1: аффинное преобразование пространства , матрица которого имеет положительный определитель, называется аффинным преобразованием I рода, а аффинное преобразование, матрица которого имеет отрицательный определитель, называется аффинным преобразованием II рода.