I. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства

§1. Аксиомы аффинного и n-мерного действительного пространства

Пусть V_n – векторное (линейное) пространство n измерений над полем действительных чисел R. Рассмотрим непустое множество E элементов произвольной природы, назовем их точками и будем обозначать заглавными буквами A,B,C … Векторы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: .

Предположим, что каждой упорядоченной паре точек A, B из E поставлен в соответствие определенный вектор из V_n , то есть B получена при откладывании вектора от точки A.

Определение 1: множество E называется аффинным n-мерным действительным пространством над векторным пространством V_n и обозначается A_n, если выполнены следующие аксиомы откладывания векторов:

1. Для каждой точки A из A_n и произвольного вектора из V_n существует одна и только одна точка X A_n такая, что = .

2. Для любых точек A, B, C из A_n выполняется равенство (аксиома треугольника).

При этом пространство V_n , векторы которого сопоставляются упорядоченным парам точек из A_n , называется ассоциированным или связанным с пространством A_n.

Замечание 1: точки пространства A_n и векторы пространства V_n могут иметь самую различную природу; требуется лишь, чтобы операции сложения векторов, умножения вектора на число и откладывания векторов обладали свойствами, перечисленными в сформулированных ранее аксиомах векторного пространства и аксиомам I и II аффинного пространства A_n.

Определение: пусть имеется непустое множество элементов, называемых векторами, в котором задана операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число:

1) - сумма векторов и

2) и - произведение вектора на число k.

Тогда указанное множество называется n-мерным действительным векторным пространством и обозначается V_n , если указанные две операции обладают свойствами, перечисленными в 10 аксиомах:

I. Аксиомы сложения векторов

I₁: (коммутативность)

I₂: (ассоциативность)

I₃: нулевой вектор : для

I₄: - противоположный вектор, такой что (Векторы и определяются однозначно).

II. Аксиомы умножения вектора на число

II₁:

II₂:

II₃:

II₄:

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа k₁,k₂,…,k_r, не все равные нулю, такие что: . Если же это равенство выполняется лишь при k₁=k₂=…=k_r=0, то данная система векторов называется линейно независимой.

III. Аксиомы размерности

III₁: линейно независимая система из n векторов.

III₂: система из т+1 векторов линейно зависима.

Эта система из 12 аксиом была предложена в 1918 году известным немецким математиком Германом Вейлем (1888-1955) и называется системой аксиом Вейля.

Отметим некоторые следствия из аксиом Вейля.

Теорема 1: при любом выборе точки А вектор .

□ Пусть , по аксиоме I такая, что . По аксиоме II для точек A,A,B имеем или . ■

Теорема 2: если , то точки A и B совпадают.

□ По теореме 1 , а по условию по аксиоме I точки A и B совпадают: . ■

Теорема 3: при любом выборе точек A и B .

□ По аксиоме треугольника II или . ■

Теорема 4: если , то .

□ По аксиоме треугольника II , учитывая, что по условию , получаем . По аксиоме треугольника II . ■

Теорема 5: для произвольных точек A₁, A₂,…,A_n выполняется равенство

.

!Доказать самостоятельно методом математической индукции.

Замечание 2: зафиксируем в пространстве A_n точку O. Тогда для любой точки M из А_n определен ее радиус-вектор . Из аксиомы I следует, что сопоставление точке ее радиус-вектора является биекцией. Но множество V_n бесконечно, поэтому пространство A_n содержит бесконечно много точек.

Замечание 3: очевидно, все аксиомы Вейля пространства A₃ выполняются и в элементарной геометрии, но являются там теоремами. Пространство V3 множество всех свободных векторов. Следовательно, пространство, изучаемое в школе, обладает всеми свойствами аффинного пространства, однако, оно богаче аффинного по своим свойствам. Например, в аффинном пространстве не определены важные метрические понятия элементарной геометрии: длинна отрезка, площадь фигуры, величина угла, объем тела и другие. Элементарная геометрия называется также евклидовой. Дальнейшей нашей целью является обобщение понятия евклидовой геометрии путем введения понятия многомерного евклидова пространства и аксиоматическое построения евклидовой геометрии для пространств любой конечной размерности. Первым шагом было построение аффинного пространства, обладающего лишь частью свойств евклидова пространства.